где б = у - - поперечная аберрация в плоскости с абсциссой s; х - абсцисса выходного зрачка; и и и - углы луча с осью до и после преломления через оптическую систему.

Знак частной производной д означает, что производная взята только по г/о; постоянной остается, строго говоря, координата т = у + (s - х) sin и на сфере Шварцшильда.

С достаточным приближением можно положить, что т = т - координата точки пересечения луча с плоскостью выходного зрачка, тогда bg =0.

Формула (II. 176) может быть упрощ,ена, оставаясь точной, если х = сю.

В этом случае имеем совершенно точно

-д (sin ц - т sin и) ~ д sin и

(11.176*)

Рнс. 11.37

Обращение х в бесконечность следует понимать таким образом. Положение сферы Шварцшильда, на которой отсчнтываются координаты т, М, может быть принято произвольно; вовсе не обязательно считать ее соприкасагощейся с плоскостью выходного зрачка. Эту сферу можно рассматривать как некоторую координатную поверхность; удобно считать ее находящейся на бесконечности, так как она в этом случае становится плоской и перпендикулярной оси. При этом лучи, соответствующие одному и тому же значению т, параллельны друг другу, т. е. значения углов и для обоих лучей одинаковы. Если начертить кривую функции б = = (sin и - т sin и) при аргументе sin и (рис. 11.37), то угловой коэффициент касательной 6s равен производной от б по уо при постоянном и. Другими словами, зная аберрацию 6g, соответствующую расстоянию параксиального изображения точки от оси, можно получить значение этой аберрации при другом, но близком значении у + dy (при том же апертурном угле и). Для тех значений и, при которых касательная параллельна оси sin и, напимер ид, аберрация bg при изменении у не меняется. Если аберрация б равна нулю, то она остается равной нулю и для соседних точек изображения.

Формула (11.176) позволяет также вычислить аберрацию системы двух компонентов, если для каждого из них известны его аберрации. Тригонометрический расчет, выполненный для каждого компонента в отдельности, дает значения аберраций для различного положения точек у промежуточной плоскости. Переход от одной точки к другой может быть выполнен с помощью формулы (11.176).

Эта же формула может служить для решения задачи вычисления аберрации системы при обратном ходе лучей. Применение ее, конечно, возможно лишь при условии, что рассматриваемые пучки лучей в том и другом ходе настолько близки друг к другу, что координаты пересечения лучей с плоскостями предметов и изображения очень мало отличаются друг от друга.

Более подробно этот вопрос изложен в работе [13].

2. ХРОМАТИЧЕСКИЕ АБЕРРАЦИИ

Ход лучей через оптическую систему зависит от показателей преломления сред, через которые луч проходит; показатели, в свою очередь, зависят от длины волны; поэтому изображения одного и того же объекта, например светящейся точки, даваемые лучами различной длины волны, не совпадают друг с другом. Так как плоскость установки в большинстве случаев является общей, 70 эти изображения создают размытую картину; на краях светлых полей появляются цветные каймы. Это явление носит название хроматической аберрации. Она в значительной степени портит качество изображения, ухудшает разрешающую силу прибора, и ее исправление требует большого внимания со стороны вычислителей, особенно для систем длиннофокусных нли обладающих большой апертурой (астрономические объективы, объективы микроскопов). Для решения некоторых задач, связанных с исправлением хроматической аберраций систем, необходимо знать зависимость показателя преломления от длины волны.

Зависимость показателя преломления от длины волны

Существует ряд теоретических и эмпирических формул, связывающих значение показателя преломления п с длиной волны X. Это формула Кош и вида

п = А +

"Г X*

более современная формула Зелльмейера

Где Я; - значения длин волн, соответствующих полосам поглощения, а Di - постоянные коэффициенты. Однако формулы Коши и Зелльмейера громоздки для практических расчетов. Для последних более удобна формула Корню

« = «о +

в котооой п„ сиХо- постоянные, подбираемые так, чтобы функ-цГ наилучшим образом представляла значения показателей. Обычно вJчиcляют I, с и 0 из условия, что для трех значении I-К, и, -3-функция/(Я) принимает три заданных значения til, «2.«з-легко получить для -о значение

Хз - гпК.2, Ла = -;--

= Jh.~Jb Н -

Пз - rii 2 - 1

Если принять, как это часто делается, = 656,3; = 589,3; = 486,1, имеем m =+ро1>6491, где ро --irji- Тогда

656,3 -589,3т

1 -т

По известному значению к, легко получить с и «о- Значения к, можно получить по данным рд (табл. 11.4).

Таблица II.4

Эта таблица позволяет по заданному Рп найти к, интерполяцией; зная Яо, легко найти с и «о- „ Гартманн усложнил формулу Корню, придав ей вид

я = По +

(К - К)

Добавочный коэффициент а позволяет несколько расширить область применения формулы, но настолько усложняет вычисления, что формула Гартманна едва ли может получить практическое применение.

Наиболее рациональный способ выразить показатель преломления как функцию от длины волны состоит в следующем. Напишем п в виде

п = По + + R (к),

где R (к) - поправочная функция, которая не превышает нескольких десятков единиц пятого знака даже в широкой области 330-900 НМ.

В табл. II.5 приведены значения коэффициентов к,, \g с, п„ для большого числа сортов стекол довоенного изготовления. Для первой группы (до ТФ5 включительно) константы к,, с н вычислены по значениям показателей преломления для длин волн 339,934; 545,561; 863,017 нм; для второй группы - для длин волн 365, 546 и 656 нм.

В табл. II.6 даны значения 10R (к) для длин волн 350; 400; 500; 600; 700; 800; 900 и 950 нм для первой группы стекол и для длин волн 350; 400; 500; 600 и 700 нм для второй группы.

Однако табл. 11.5 и II.6 могут быть применены лишь в тех случаях, когда нужно вычислить показатель преломления "для одного из приведенных сортов стекла.

В общем случае удобно пользоваться табл. II.7, содержащей

[14].

п. - «

значения р = ---

Если обозначить буквой р частную относительную дисперсию

п. -- Пр

оптического стекла, т. е. отношение--то величина р может

рассматриваться как функция одного аргумента к, причем эта функция вполне определена, если только известно одно ее частное значение, напрршер рд. Другими словами, если для какого-нибудь стекла величина ро равна известному числу, то, не зная ничего больше относительно этого стекла, можно наперед определить для него величину р, при любом к.

Чтобы проверить правильность этого утверждения или, лучше, Ьтепень точности, с которой оно выполняется, можно поступить Следующим образом: построив декартову систему координат, от-ЙЮжить по оси абсцисс величины рд, а по оси ординат - рл, рс р рА- Все эти величины можно взять из каталога заводов, изготовляющих оптические стекла. Каждому стеклу соответствуют Щ>к точки: для Л, для G и для А.

[ Если бы указанная закономерность выполнялась совершенно Гочно, все точки уложились бы на три кривые, представля-Ьщие собой зависимость р/,, рс и]рл от рд. Таким образом,

Таблица П.5

Продолжение табл. П.5