Главная -> Книги

(0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20) (21) (22) (23) (24) (25) (26) (27) ( 28 ) (29) (30) (31) (32) (33) (34) (35) (36) (37) (38) (39) (40) (41) (42) (43) (44) (45) (46) (47) (48) (49) (50) (51) (52) (53) (54) (55) (56) (57) (58) (59) (60) (61) (62) (63) (64) (65) (66) (67) (68) (28)

однако, только одна имеет практическое значение - хроматическая разность сферических аберраций.

Для оценки количественной стороны хроматической аберрации берут условно две определенные длины волны, лежащие по ту и другую сторону от некоторой средней длины волны, для которой выполняется основной расчет в монохроматическом свете. Например, при средней длине волны 1 = 589,3 нм, соответствующей желтой линии D натрия, берут Х- = 656,3 нм (линия С водорода) и Яд = 486,1 нм (линия F водорода). Хроматическая аберрация определяется разностью так или иначе выбранных координат, вышедших из системы лучей., соответствующих длинам волн Х и Xg.

Хроматическая аберрация положения

Положение плоскости изображения зависит от значения показателей преломления линз системы; изменение положения этой плоскости с изменением длины волны лучей обусловливает хроматическую аберрацию положения. Она определяется расстоянием

между двумя плоскостями изображения одной и той же плоскости предмета, соответствующими двум длинам волн Х и Х. Условимся обозначать величины, относящиеся к длинам волн Х и Xg, соответственно значками С я F, поставленными сразу же после обозначения величины, например Sq, Hq и т. д. Вообще говоря, величины, снабженные значками С я F, следует относить к длинам волн 656,3 и 486,1 нм, общепринятым для характеристики хроматических аберраций зрительных оптических приборов; но все результаты, полученные при таком частном подборе, могут быть обобщены для любых двух длин волн Х я Х.

Рассматриваем некоторую точку-предмет S на оптической оси системы. Исходим из известной формулы преломления через сферическую поверхность.

(11.177)

Берем два луча С я F, пересекающие ось до преломления в точках Sc я SpC абсциссами и Sp] расстояние ScSp предполагается очень малым. Так как к обоим лучам относится формула (11.177), то, написав ее дважды, один раз для лучей С я другой - для лучей F, вычитаем одно уравнение из другого. Пренебрегая квадратом малых разностей

bs = Sp - и 6s = sp - Sg,

получаем

-б/г

(11.178)

где для краткости положено, что

Формулу (11.178) можно переписать в виде nbs

(11.179)

где А - символ Аббе для разности двух одинакового вида выражений, различающихся только тем, что в первом выражении все величины со штрихами относятся к преломленному лучу, так что Aq = q - q. С точностью, указанной выше, можно считать величины s и п, относящимися к длине волны, лежащей между Xj я Xg] максимальная точность получается тогда, когда

эта длина волны принята равной -Ц;-

Замечая, что----- равно--

S г п

вариант Аббе, имеем 4 nbs

QsA-

нулевой ип-

(11.180)

Формула (11.180) решает вопрос о нахождении хроматической аберрации положения для случая одной поверхности.

Чтобы перейти к общему случаю системы из р поверхностей, замечаем, что

= а. =

где и - углы с осью параксиального луча, проходящего через точку S предмета. Умножая обе части формулы (11.180) на /i, получаем

(11.181)

An 6s = Апа 6s = - hQsA

Применяем формулу (11.181) для всех р поверхностей системы: nlai bsi - niKi 6si = - /j?Qi, sAi T" ;

ПгКг 6s2 - що 6s2

ripttp 6Sp

«pap6sp = -/ipQp, sAp



Складывая все полученные уравнения и принимая во внимание сделанное выше замечание, получаем в левой части Прар bsp - nia\8si. Таким образом,

прар 6sp - nia?6si = - hlQ, Д,

(11.182)

в левой части величина 8si, относящаяся к точке-предмету, обычно равна нулю. Правую часть можно переписать в переменных Ланге, пользуясь многократно применявшейся формулой

-hQs =--р .

Тогда формула (11.182) принимает окончательный вид

(11.183)

Величина 8sp называется продольной хроматической аберрацией положения изучаемой оптической системы. Нетрудно видеть, что она не зависит от единиц, в которых выражена величина а. Выражение, стоящее под знаком суммы, содержит произведение величин h и Аа, из которых каждая имеет то же измерение, что

И aj. Сумма имеет измерение аь но и знаменатель ар имеет то же измерение, вследствие чего частное 6s оказывается нулевого измерения по отношению к данному углу. Иногда говорят о поперечной хроматической аберрации положения, понимая под этим произведение отрезка 6sp на выходной апертурный угол сОр. Такое представление имеет условный характер и практически применимо только при очень малых апертурных углах.

Рассмотрим два частных случая применения формулы (11.183).

1. Простая линза в воздухе. Для бесконечно тонкой системы из двух поверхностей, находящейся в воздухе, формула (11.183) принимает особенно простой вид

a;6s; = hi -1=+h-31 Ьгц

так как

= 6«з = 0. Но у бесконечно тонкой системы hi =

«2 6S2 =

1-V,

(«1 -аз) = /ii

поэтому (ai - a2 - аз -f «2) =

6«2

-(а-аз).

"a

Пользуясь основной формулой для бесконечно тонкой линзы

рде / - ее фокусное расстояние, после умножения на h имеем

«3 -«1 =

Подставляя это выражение в формулу для продольной хроматической аберрации, находим

«2 6S2 =

б я.

/ «2-1

6s; = -

г «2-1

2 62

/ «2 -

(11.184)

Выражение

»2 - 1 6п

встречается часто во всех формулах, свя-

занных с хроматическими аберрациями; Аббе назвал его коэффициентом дисперсии и обозначил буквой v. В дальнейшем будем пользоваться этим обозначением. (До сих пор буквой v обозначалась обратная величина показателя преломления - ; во избежание недоразумений v в этом значении не будет применяться в основных формулах, а только в промежуточных выводах). Тогда формула (11.184) принимает особенно простой вид

6s = -

(11.184*)

где индекс 2 у величины 6s опущен. Формула (11.184*) может быть получена независимо от формулы (11.183) при использовании следующего выражения:

Дифференцируя по п и s, получаем 6s

6s = -

2 J

«-1 /

2. Сложная линза. Если имеется две или несколько бесконечно тонких линз, разделенных бесконечно малыми воздушными промежутками, можно исходить из формулы

s S I

где Ф,- - оптическая сила линзы с номером i.



Дифференцируя эту формулу по s и по значениям показателей, получаем

откуда

(11.185)

где V; - коэффициент Аббе для материала линзы i.

Формула (11.183) для хроматической аберрацииположения дает возможность вычислить положение плоскости изображения для любого цвета по отношению к,плоскости изображения, соответствующей определенному цвету К- Для этого нужно принять, что величина бп, входящая в выражение коэффициента v, равна разности показателей - для обоих рассматриваемых цветов; показатель п, так же как и величины аи /гв формуле (11.183), соответствует некоторой средней длине волны.

Максимальная точность при вычислении хроматической абер-

п, -f-

рации получается в том случае, когда п - 2 когда а

и h соответствуют именно этому значению п показателя. Это вытекает из легко доказываемого свойства разложения функций в ряд Тэйлора, заключающегося в том, что разность f {х + И) -f (х) функции / (х), соответствующая приращению к аргумента х, представляется через значение первой производной наиболее точно, если эта производная вычислена для значения аргумента х, равного

л: +"2". Другими словами, в формуле

f{x + h)-f(x) = hf{x + th)+Rix, К)

(11.186)

остаточный член R (х, h) достигает минимального значения, когда коэффициент t равен

Разлагая левую часть в ряд Тэйлора, 1

можно убедиться, что при i величина R {х, И) не содержит

множителя h, а только h. Последнее обстоятельство имеет большое практическое значение. Часто обнаруживаются расхождения, иногда существенные между значением хроматической аберрации, полученным точным тригонометрическим расчетом двух лучей разных длин волн, и значением, полученным по формуле (11.183). Расхождения объясняются тем, что величины а, h я п берутся не для среднего значения длины волны. Например, часто для вычисления хроматической аберрации в фиолетовой части спектра исходят из значений а, Я и и, вычисленных для цвета D, лежащего вне фиолетовой области; в этом случае расхождения могут быть значительными.

Необходимо помнить, что величина хроматической аберрации, полученной на основании формулы (11.183), верна только для параксиальных лучей; практически формула применима для очень узкой области, соответствующей малым апертурным углам.

Хроматическая аберрация увеличений

Изображение точки, лежащей в меридиональной плоскости, в параксиальной области определяется двумя координатами - абсциссой s и ординатой /, поэтому оно обладает двумя хроматическими аберрациями. Первая, исследованная выше, касается положения плоскости изображения; это аберрация абсциссы s. Вторая относится к ординате /, которая также является функцией от длины волны луча. Эта аберрация измеряется либо разностью величин / (ординат изображений одной и той же точки объекта лучами двух различных длин волн, которые мы будем условно обозначать значками С и F), либо связанными с нею величинами. Для определения линейного увеличения оптической системы можно исходить из формулы Лагранжа-Гельмгольца

откуда

Но, имея в виду формулу /г = sa = sa,- можно написать

ttj tta «3

«3

где символом П обозначается произведение величин, стоящих под этим знаком; таким образом.

(11.187)

где для краткости пропущен значок к.

Рассмотрим теперь три параксиальных луча, исходящих из одной и той же точки предмета на оси, различных цветов С, D, F; длина волны луча D лежит в промежутке между значениями длин волн Ся F. Полагая, что разности показателей для лучей С, D я F очень малы, можно вычислить разность б/р = 1рр - 1рс дифференцированием уравнения (11.187). Величины п, s я др., которые



(0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20) (21) (22) (23) (24) (25) (26) (27) ( 28 ) (29) (30) (31) (32) (33) (34) (35) (36) (37) (38) (39) (40) (41) (42) (43) (44) (45) (46) (47) (48) (49) (50) (51) (52) (53) (54) (55) (56) (57) (58) (59) (60) (61) (62) (63) (64) (65) (66) (67) (68)