Главная -> Книги

(0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20) (21) (22) (23) (24) (25) (26) (27) (28) ( 29 ) (30) (31) (32) (33) (34) (35) (36) (37) (38) (39) (40) (41) (42) (43) (44) (45) (46) (47) (48) (49) (50) (51) (52) (53) (54) (55) (56) (57) (58) (59) (60) (61) (62) (63) (64) (65) (66) (67) (68) (29)

появятся при дальнейших выкладках, будут относиться к среднему лучу D. Логарифмическое дифференцирование дает

6«i

(11.188)

Но сумма Сможет быть разбита на пары членов следующим образом:

111- J / bs, 51

б S3 S3

So /

Ввиду того, что 6sk = bs+i и = s+i + 4, где ~ расстояние между поверхностями с номерами к и к + 1, имеем р

6s \

6Sp , с do

k + i

*A-i-i

P-iP

Так как предмет не имеет аберрации, то bsy = 0; поэтому

к=р-1

(11.188*)

Но для продольной хроматической аберрации имеем формулу

1 n

Условимся для краткости писать

Да л бп

тогда

(П.189)

Подставляя это значение в формулу (11.188*), находим р

/6S

к=р-\ к

*k+1"k+1kk+1

. (11.190)

1 к=1

Второй член правой части формулы (11.190), вследствие соотношений

SKk+I = Нк, Sk+iCCk+1 = /Ik+Ь

может быть написан в виде

к==р-1 к

1

Учитывая последнее преобразование, получаем вместо (11.190)

\ Sk

«»р

ds {IhCi + 1цС + /13C3)

dp., {h,C, /ЦС2

+ hp-iCp-i)

nphp ihp

(11.190*)

Выражение в квадратных скобках можно написать иначе, перераспределяя величины С:

Вве, (11.52),

dp-i >

nphp.hp I

dp-i

\ „з/г/гд T- г ,1р/гр /гр / I" " -p-i p-i nphp.-Jip

Введем обозначение, которое уже использовалось в формуле

Р Zj /гк-1ЙкПк

тогда выражение в квадратных скобках принимает вид [•••] = /iiQap + КС (ар - а) + ftgQ (о - ад) + • • • ----bftp-iCp i((Tp-ap i) =

---p-ihp-iCp i.



Прибавляя и отнимая член OphpCp, получаем

Таким образом, отбрасывая индексы, имеем

/ р р

hC

Заменяя Ор его значением из формулы (П.52), т. е.

Ур Уг

"р J [hp hj

J = Hpaptp, получаем вместо формулы (П. 188)

\«>рЧ

1 г/

J /г

р р

1 Ур npaplp hp )

ahC.

(11.191)

Выражение в скобках преобразуется к виду 1 \ Ур \ Ур

n„a/s„ n„aj„ hp л1а31 naNj

-р-р р "p•pp I /

V Р

•-рр "р

рр-р

«>Лр-р)

Подставляя опять

получаем

--1 ;,C+ScTftC. (11.191*)

«р«р

р "р -р-р 1 1

Умножая обе части формулы (11.191*) на КСк и суммируя по всем /с от 1 до р, находим

поэтому формула (11.191*) приводится к следующему виду:

р bn-i

(11.192)

-р " р Когда последняя среда одинакова с первой, то

б«1 Ц,

L x„ - s„ J


(11.193)

Ha практике обычно разность Ы = Ip - Ic не представляет интереса, потому что обе величины 1р и Iq измеряются каждая в плоскости установки, соответствующей ее цвету. Гораздо важнее другая разность, а именно разность координат точек пересечения двух лучей различных цветов, идущих из одной и той же точки объекта, с плоскостью изображения одного определенного цвета, например цвета D. В случае фотографического или проекционного объектива имеет значение разность координат лучей различных цветов в плоскости светочувствительного слоя и в плоскости экрана. В оптических системах, предназначенных для наблюдения глазом и имеющих-окуляр, необходимо рассматривать картину аберраций в фокальной плоскости окуляра, т. е. снова в одной и той же плоскости для лучей всех цветов.

Рассмотрим некоторую плоскость установки MdNd для цвета D, не совпадающую с плоскостями изображений для цветов С я F (рис. 11.39). Пусть цветные лучи С, D, F, исходящие из одной и той же точки-объекта, проходят через одну и ту же точку входного зрачка (чаще всего для оценки хроматической аберрации берут луч с координатами = О и Mi = 0). После прохождения через систему лучи пересекают оптическую ось в точках Рс, Роу Рр и плоскость изображения лучей D - MdNd - в точках С, 12* 179



Nd, F. Пусть Nf п Nc - точки, где цветные лучи F и С пересекают плоскости изображения, соответствующие своему цвету. Тогда MpNp = If, McNc = /с- Обозначим расстояния точек пересечения лучей с плоскостью MdNо через Lc, Id и Lf. Требуется найти соотношение, связывающее разность Lf - lc с разностью If - /с. Обозначим через рс, Pd и р углы, образуемые с осью лучами С, Z> и F; на рис. П.39 они отрицательны. Хотя углы Рс, Pd и Pf не равны между собой, но они весьма близки друг к другу; при умножении малых величин порядка аберрации на одну из величин, например на Рс, можно с достаточной степенью точности заменить ее величиной Рв или р. Поэтому можно легко установить связь между Lf и Ip я lc я lc:

Lf = 1f

MpMoliF, lc = Ic-McMdc.

Разность

Lf - Lc = 1f-1c - {MfMd - NUMd) Pd = - /с + McMfPd-Ho отрезок McMp представляет как раз продольную хроматическую аберрацию положения 6sp, поэтому окончательно имеем

LF - Lc = lf - lc + bspd- (П. 194)

С другой стороны, из формулы (11.192) получаем

Так как

Ьп \

(11.192*)

то уравнения (11.194) и (11.192*) дают

LF-Lc=ZyC+l

Ьпр \

(П.195)

Величина хроматической аберрации положения здесь исчезла. Если первая и последняя среды одинаковы, то

Lf - Lc~yC.

Эту формулу удобно писать еще в таком виде:

(П.196)

0L \л у.

(11.196*)

Величина слева может быть названа относительной хроматической аберрацией -увеличений; она выражается в процентах.

Отметим, что разность 81 не зависит от координат луча в плоскости входного зрачка; это видно из формулы (11.188), где все величины зависят от координат первого вспомогательного луча, но не второго. В дальнейших преобразованиях вводятся искусственным путем координаты второго вспомогательного (главного) луча, но зависимость 81 от координат этого луча, естественно, только кажущаяся. Причина такой независимости заключается в том, что все параксиальные лучи, исходящие из точки-предмета, пересекают плоскость изображения (своего цвета) в одной и той же точке.

Иначе обстоит дело с величиной 8L, измеряемой в одной и той же плоскости установки; она связана с выбором главного луча, поскольку разность 8L - 81 зависит от наклона к оси последнего, как показывает формула (11.194). Единственный случай, когда 8L также не зависит от выбора луча, это тот, когда исправлена первая хроматическая аберрация положения и 8sp = 0. Тогда 8L = 8Г, а последняя величина не зависит от координат луча.

Полагая, что луч проходит через центр зрачка и является «главным», доказанное свойство хроматической разности увеличений можно выразить следующим образом: если исправлена первая хроматическая аберрация, то вторая хроматическая аберрация (увеличений) не зависит от положения входного зрачка. Это свойство второй хроматической аберрации напоминает свойство комы при исправлении сферической аберрации. Возможность такой аналогии обусловливается тем, что первая и вторая хроматические аберрации находятся в области параксиальных лучей в таком же соотношении, как сферическая аберрация и кома в области оптики пучков конечного отверстия.

В дальнейшем будем понимать под хроматической аберрацией увеличений, или второй хроматической аберрацией, величину

Lf~Lc\ чаще всего будем пользоваться отношением -

выражая его в процентах.

Выведем еще одну формулу, связывающую хроматическую аберрацию увеличения с хроматической аберрацией положения и аберрацией последнего угла а.

Из формулы Лагранжа-Гельмгольца получаем

Дифференцируя логарифмы обеих частей этого уравнения, подставив If - lc вместо dl , находим

(11.197)



(0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20) (21) (22) (23) (24) (25) (26) (27) (28) ( 29 ) (30) (31) (32) (33) (34) (35) (36) (37) (38) (39) (40) (41) (42) (43) (44) (45) (46) (47) (48) (49) (50) (51) (52) (53) (54) (55) (56) (57) (58) (59) (60) (61) (62) (63) (64) (65) (66) (67) (68)