Главная -> Книги

(0) (1) (2) ( 3 ) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20) (21) (22) (23) (24) (25) (26) (27) (28) (29) (30) (31) (32) (33) (34) (35) (36) (37) (38) (39) (40) (41) (42) (43) (44) (45) (46) (47) (48) (49) (50) (51) (52) (53) (54) (55) (56) (57) (58) (59) (60) (61) (62) (63) (64) (65) (66) (67) (68) (3)

Преобразуем выражение А =.« cos i - п cos / Ввиду того, что

получаем

п cos i = Уп- - п + пЧоъ1,

A = Yn- - nj „2 cos2 i „ COS(1.32*) Зная A, можно определить p,,, y, no формуле (1.29):

л - ГУ 4-

Д г«:

(1.34)

Теперь известны положение и направление преломленного луча, поскольку известны координаты х, у, точки луча и его направляющие косинусы. Остается осуществить переход к следующей преломляющей поверхности; он производится следующим образом.

Пишем уравнение преломленного луча

Х - Хк Y -ук Z-zk

««+1 Рк+1 7к+1

где t - величина, зависящая от положения рассматриваемой точки на прямой. Ищем точку пересечения этого луча с поверх- ностью /с+1, радиус кривизны которой равен г. Пусть А =

(1.35)

, - - расстояние между центрами С и С

обеих поверхностей. "+1

Обозначим через дг,,„ у,, .. координаты точки пересечения луча с поверхностью к + 1, отнесенные к новому центру кривизны. Переход от старой системы координат к новой осуществляется по формулам

(1.36)

Уравнение сферы с номером к + 1 в новых координатах имеет

Уравнение луча может быть переписано в виде

Х„ = х + ai; К« = у« + f.+if; Z« = z« + у

Подставляя эти значения для Х, Уя в предыдущее урав-рие и принимая во внимание переход от новой системы к старой, элучаем

(х« - Л« + a.,4f + {у, + ,4f + (2« + tf = г\

к+1-

Произведя возведение в квадрат соответствующих величин и помня, что

««+1 + Рк+1 + Vk+1 = 1;

Хк + P«+if/« + Y«+i2k = r«+i COS

получаем для определения значения 4, соответствующего точке пересечения луча с поверхностью к+1, уравнение

tl + 2t (r„+icos i - Л A+i) + rl - r«+i - 2Лл + Al - 0. (1.37)

Решив это уравнение относительно t, выбираем то значение корня, которое соответствует первой точке пересечения луча со сферой.

Определив 4, имеем

K-i-x - ~\ K+iK Ук-х ~ Ук Pk+ii Zk+i = 2к + Ук+1к-

(1.38)

Как легко видеть, представляет собой «косую толщину» d, т. е. расстояние между поверхностями /с и (к + 1), отсчитываемое вдоль луча.

Зная координаты х, точки пересечения луча

с поверхностью к + 1 и направляющие косинусы падающего луча Ok+i, Рк+1 и можно по приведенным выше формулам

продолжать расчет хода луча через вторую поверхность. Подробности вычисления и схему см. в статье И. В. Лебедева [4].

Вычисления выполняются на арифмометре и не требуют применения тригонометрических величин; кроме того, метод может быть обобщен на случай несферических поверхностей, как это указано в статье [4].

К достоинствам аналитического метода можно отнести следующие:

1) отпадение надобности в таблицах;

2) незначительное количество случаев потери точности (к таким относится случай больших радиусов, при которых определение величины t становится неточным, так как в коэффициентах уравнения, определяющего t, появляются разности больших и близких величин);

3) выполнение вычислений по однотипным формулам, что облегчает процесс вычисления и уменьшает возможности ошибок;



4) наличие контрольных формул, например

4 + (3 + 7.= 1. К недостаткам этого метода следует отнести:

1) полное отсутствие углов в схеме, из-за чего трудно по вычислениям хода луча определить те места в системе, в которых появляются аберрации высших порядков;

2) слишком большое различие между аналитической схемой и обычной тригонометрической, вследствие чего сравнение хода лучей в обоих случаях с первого взгляда невозможно.

Впрочем, за отсутствием опыта по применению аналитического метода невозможно дать о нем достаточно обоснованный отзыв; было бы полезно в одном из вновь организуемых вычислительных отделов подвергнуть этот метод подробному исследованию.

Расчет косого луча через отражающую поверхность второго порядка

Предположим, что в оптической системе одна отражающая поверхность имеет форму гиперболоида или эллипсоида с эксцентриситетом е.

Пусть а, р и 7 - направляющие косинусы падающего луча. Они равны:

а = cos б cos е;

Р = -cos б sine; у = sinS,

(1.39)

где сферические координаты б и £ известны из расчета косого луча, доведенного до несферической поверхности. Пишем уравнение этого луча в виде

X = s+at; Y = l + р/;

(1.40)

Z = yt,

где / - расстояние по лучу от точки М пересечения луча с несферической поверхностью до точки В пересечения луча с меридиональной плоскостью; s - абсцисса точки В относительно вершины отражающей поверхности.

Уравнение поверхности второго порядка, отнесенное к вершине, имеет вид

f{X, Y, Z) = (e2-1)Х2 + 2гХ -F2 -Z2 = 0.

(1.41)

Помня, что направляющие косинусы нормали X, [i, v пропорциональны частным производным . > получаем

(1.42)

где = y7+I7x+M=W-

Подставляя выражения для X, У и Z в уравнение поверхности второго порядка, получаем для t уравнение второй степени (а%2 i)p2t[ra + sa (e - 1) - ф] + 2rs + (e2 i)s2 /20.

Полагаем для краткости

А=ае-\;

В = ra-f sa(e-1) -/Р; C = 2rs + (e2- l)s2 -Р;

Если > О, полагаем ~ = sin Т, откуда

(1.43) (1.44)

Если

<0, полагаем - = g Т, откуда

= i-sin-f seer.

Зная t, можно вычислить X, Y и Z по формулам (1.40) и, подставив в формулы (1.42), получить Я, р и v.

Угол луча с нормалью i вычисляется по формуле

cos i = аХ-}- P.i -f yv. (1.45)

Направляющие косинусы а, р и у вычисляются по формулам а = а -2Xcost;

р= р -2(xcos/; (1.46)

у = у - 2vcos J. Координаты луча, падающего на поверхность, следующую после асферической, определяются из выражений

sin6 = Y; s=X--Z,

(1.47)



после вычисления которых можно продолжать расчет хода луча через следующие за поверхностью второго порядка сферические поверхности по обычным формулам.

Формулы Федера

Для расчетов с помощью электронно-вычислительных машин очень удобны формулы, предложенные Федером [5].

Луч в схеме Федера определяется с помощью следующих векторов (рис. 1.9):

Q {X; Y; Z) - единичный вектор вдоль луча до преломления;

Ql (и Уй Zi) - то же после преломления;

Т {х; у; z) - вектор, соединяющий вершину поверхности / с точкой пересечения луча с этой поверхностью; 71 (Xi, Ух, Zj) - то же для поверхности 2. Расчет хода луча через сферическую поверхность. Приводим формулы Федера для случая сферических поверхностей.

Обозначим через = -;


Рис. 1.9

= - кривизны сферических поверхностей 1 и 2; через В - пересечение падающего луча с перпендикуляром М к нему, опущенным из точки Оз; через и Л 2 - точки пересечения луча с поверхностями / и 2; через Х - расстояние Л1Л2 (рис. 1.9).

Отрезок I = AiB определяется формулой l = dX - (xX +у¥ + zZ).

Проекция на оптическую ось перпендикуляра М определяется по формуле

Mx+lX - d. Длина отрезка М определяется следующим образом: М = Ml + Ml + Ml = {х + IX-df + [y + lYf + {z+ IZf = x + y + z + P + 2l (xX + yY + zZ - dX) - 2dx + d» =r = d + x + y + z+l - 2P - 2dx.

Окончательно

M = x- + y + zP - 2dx + d\

Определим точку пересечения луча с поверхностью 2. Уравнение ее, отнесенное к вершине О, следующее: xi + y\ + zi - 2r2Xi = 0.

Уравнение луча

Xi - Mx У1 - Му Zi - Mz X ~ Y Z ~ >

откуда

Xi = Mx + tX; y=-.M,j + tY; = + tZ. Подставляя эти выражения для х, j/j и 2 в уравнение сферы и

ХМ + YMy + ZM, = О,

помня, что получаем

- 2г1Х + М - 2гМ, = 0;

(знак + относится ко второму пересечению с поверхностью 2 и обычно не представляет интереса). Вычислим косинус угла падения /:

- X =

Гг 2 2

{М + tX)X + (My + tY)Y + {M, + tZ)Z

МХ + MyY +M,Z + t t

-. ~ 2

вычислим величину

1 +

- 2r.,/Wx

r,X+YriX-M + 2rM,

с,Мз - 2Мх

= 1 +

сМ - 2Мх X + cos i ,

де С2 =



(0) (1) (2) ( 3 ) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20) (21) (22) (23) (24) (25) (26) (27) (28) (29) (30) (31) (32) (33) (34) (35) (36) (37) (38) (39) (40) (41) (42) (43) (44) (45) (46) (47) (48) (49) (50) (51) (52) (53) (54) (55) (56) (57) (58) (59) (60) (61) (62) (63) (64) (65) (66) (67) (68)