Но величины If - k nLp - Lc связаны соотношением

Lf-Lc = 1p - Ic + 8sp. Деля обе части этого уравнения на /, имеем

Подставляя вместо отношения --- его выражение (П. 197), получаем для хроматической разности увеличений

агн-----р , р р (11.198)

% р-р «Р

Если предмет находится на бесконечности, то

-р f

Формула (П.198) позволяет вычислить величину хроматиче-. ской разности увеличения, когда имеется расчет двух параксиальных лучей для двух цветов.

В случае бесконечно тонкой линзы формула (11.196*) может быть упрощена следующим образом. Для простой линзы имеем

Да д 6п а,1 - аз бп, - «з

где V - коэффициент дисперсии.

Разность Oi - Оз заменяем отношением--~, после чего

получаем для С выражение

С = -

Подставляя это значение С в формулу (11.196*), находим ЬУ LJ! - J yh h у \

Замечая, что -p- = , , и -К = s, получаем о

конча-

тельно

где x - расстояние от линзы до выходного зрачка; s - расстояние от линзы до плоскости изображения. Если х или s равно нулю, вторая хроматическая аберрация равна нулю. Мно-

житель , , может быть заменен равным ему множителем

. Равенство этих двух выражений вытекает из основного

уравнения для простой линзы

откуда следует

x - s

Пример. Определить хроматическую разность увеличений для линзы из стекла К8 (v = 64), если предмет на бесконечности, а входной зрачок находится в переднем фо-кусе линзы (рис. 11.40). Имеем s = /; х =оо, и, следовательно,

&L s

Рис. 11.40

= -1,5%.

Применим формулу (11.196*) для случая нескольких бесконечно тонких линз на бесконечно малых расстояниях друг от друга. Выше было показано, что для одной бесконечно тонкой линзы величина С равна

7= 1. -

- fv -

где Ф - оптическая сила линзы.

В данной системе ординаты точек пересечения первого и второго вспомогательных лучей со всеми линзами системы h и у одинаковы для всей системы и могут быть выведены за знак суммы.

Формула (11.196*) принимает тогда вид

6L V

yh Ф

Но, как было показано, для простой линзы hy sx sх

Это соотношение остается в силе и здесь; поэтому 6L sx VI Ф,-

)L sx VI

/ - х -s Zj

(11.200)

где Ф; - оптическая сила t-й линзы системы; V,- - коэффициент Аббе стекла этой же линзы. Суммирование распространяется на все / линз системы.

Хроматическая аберрация высших порядков

Хроматические аберрации второй группы относятся исключительно к конечным апертурам или к конечным углам поля зрения. Они возникают оттого, что аберрации третьего, пятого и более высоких порядков зависят от показателей преломления и, следовательно, вид пятен рассеяния меняется с цветом лучей, создающих картину изображения: пятна кажутся окрашенными.

Этот эффект является вторичным. Уже сами по себе аберрации - величины малые, а изменения их с длиной волны составляют только небольшую долю их величины, поэтому сравнительно редки случаи, когда хроматические аберрации этой группы оказывают заметное влияние на качество изображения, даваемого системой. Можно отметить следующие случаи: хроматическая разность сферических аберраций в микроскопических объективах; хроматическая разность увеличений для больших углов поля зрения в широкоугольных фотографических объективах и т. д.

Вторичный спектр или остаточная хроматическая аберрация положения

При наличии не менее двух стекол в оптической системе всегда можно подбором фокусных расстояний отдельных линз системы свести в пространстве изображений в одну точку на оси два луча различных длин волн, например С и F; но при этом лучи других длин волн не пересекают ось в той же точке. Поэтому изображение, даваемое оптической системой с хорошим хроматическим исправлением для двух лучей, все-таки оказывается окрашенным. Эта остаточная хроматическая аберрация оптической системы оказывает иногда весьма заметное влияние на качество изображения, особенно в системах с большими фокусными расстояниями (астрономические объективы, коллиматоры для испытания оптических систем, перископы для подводных лодок и т. д.).

Допустим, что оптическая система в отношении хроматической аберрации исправлена для лучей двух цветов Сир. Представим графически величину s как функцию от длины волны к. Кривая зависимости s от длины волны X имеет вид, представленный на рис. П.41. Отметим на этой кривой экстремальную точку е.

Условимся расстояние между абсциссой точки е и общей абсциссой точек С н F называть вторичным спектром оптической системы для пары лучей С п F; тогда

8SeF = Sp - Se-

Определим величину вторичного спектра для системы бесконечно тонких линз, находящихся в соприкосновении.

По-прежнему будем считать, что хроматическая аберрация положения исправлена для пары лучей двух цветов, условно обозначаемых через F и С. Кроме этих двух лучей рассмотрим лучи К. я L, соответствующие двум длинам волн К я L. Хроматическая аберрация для этих лучей может быть вычислена с помощью формулы (11.185), а именно:

где Ф; - оптическая сила линзы i (для длины волны, лежащей между /( и L), а v,-=

Рис. 11.41

«г -

-; rii-показатель преломления для средней длины волны.

Вводим следующий ряд обозначений:

т - -

8scf = Sp - sc, 8SjL = St - S/;

riL - ПК

Pkl =

пр - пс

Вводим также обозначение приведенной оптической силы = = РФ, где F - фокусное расстояние всей системы; Ф; - оптическая сила t-й линзы.

Двухлинзовые объективы. Условие масштаба дает

-L = ф + ф,

откуда

Ф1 + Ф2 = 1 •

Хроматическая аберрация 6scf согласно формуле (11.185) равна 8scp=-2---[-- + -).

Аналогично для бхл;/.

т \ V

)•

Вводя переменное получаем для условия масштаба

К-1)г1;1 + («2-1)г12= 1. (П.201)

Величины 8scF и бs,, принимают вид

{tlL - 1 + ("i. - "к)2 % = mbsiL-

Исключение iji и ijja из этих трех уравнений дает

{Пр - Пс)\ {Пр-Пс)2 -mbscF

(11.202)

или, при делении на произведение («1 -1 1 -1

- - - mdscF

- mbsiL

1) («2- 1),

= 0.

(11.203)

Если хроматическая аберрация положения устранена для лучей С и f, то для вычисления вторичного спектра нужно положить bscF = 0; К = D; L = F. Тогда уравнение (И.203) дает

mbsoF =

V2 -V,

(11.204)

Таким образом, величина вторичного спектра пропорциональна отношению разности частных относительных дисперсий к разности относительных дисперсий. Формула (П.204) приводит к простому графическому построению, позволяющему получить исчерпывающие сведения о возможностях, которые дают современные оптические стекла в отношении уменьшения вторичного спектра.

Отложим по оси абсцисс величины Vqf, по оси ординат - PoF- Каждому стеклу соответствует одна точка. На рис. И.42 построение выполнено для величин Vcf и рер, где е означает спектральную линию с длиной волны 546,1 нм - ртутную зеленую линию. Чтобы определить величину вторичного спектра, которая получится у системы из двух каких-нибудь стекол,

достаточно соединить прямой точки, относящиеся к этим стеклам. Тангенс представляет собой величину

(Рорк-(Рор)1

которая при умножении на коэффициент--уг, не зависящий

эт свойств стекол, и дает величину вторичного спектра.

На рис. 11.42 нанесены точки, соответствующие всем группам гтекол каталога фирмы «Шотт»; то, что по оси ординат отложены

«4/

Рис. 11,42

величины ш р0р, а рер, нисколько не влияет на выводы. Одного взгляда на этот рисунок достаточно, чтобы убедиться, насколько затруднен выбор стекол для получения системы с минимальным вторичным спектром: все точки лежат на одной прямой; поэтому величина вторичного спектра почти не зависит от выбора стекол, если пользоваться наиболее употребительными сортами. Изложенное дает возможность оценивать величину вторичного спектра объективов, исправленных хроматически. У двухлинзового объектива величина вторичного спектра, определенная на основании формулы (11.204) по данным каталогов любых оптических заводов,

равна 1/2000 от величины -гг для группы лучей С, D а F. Если

система ахроматизована для лучей С н F, то луч D не является тем лучом, для которого величина s достигает своего минимума, так как его длина волны (589 нм) лежит гораздо ближе к лучам С (Я, = 656 нм), нежели к лучам F (К = 486 нм). Минимум s имеет место для луча с длиной волны Я = 560 нм, и если величину вторичного спектра определить разностью s560 - sp или Sseo - sc>