в Улучаё, когда предмет на кднёчндм расстоянии, нужно исходить из формулы, приведенной в книге Чапского-Эппен-штейна [15], а именно:

я+ 2

рф (4±1аФ + ?Ф)р +

0Ф +

л- 1

(11.217)

где а =

Si - расстояние от линзы до предмета.

Таблица 11,13

Предположим, что линзе с номером к предшествует оптическая система, обладающая хроматической аберрацией положения Азк-Г, пусть A/Ik-i - разность высот параксиальных лучей С и F ш предыдущей линзе с номером к - 1.

При вычислении разности zf - zc нужно будет учесть влияние изменения показателя преломления п, оптической силы Ф, величины -

= -, высоты пересечения h.

в статье автора [14] влияние первых трех перечисленных величин выведено, а именно:

Zf - Zc-=

. «2 + 1 - , 4л - 1\ - , , Зл2 + 2-2 , 6л-2- , n(3n-2)] . , 7 W2 + I - i о Зл + 2 - , 3n + 1 \ , ,

(11.218)

где ct = -.

Остается учесть влияние изменения высоты пересечения h,-Вычислим A/Ik- Из формулы перехода

получаем

АЛ« = A/i« i -rf« iAa.

Вычислим Аок по известным Ask i и Ah-i. Пусть Ag (рис. 11.45) - поперечная хроматическая аберрация, равная Ask-1 (Хк- Разность Аак углов a«, соответствующих лучам С м F,

Рис. 11.45

равна (с точностью до членов второго порядка малости)

Аа« =

Отсюда

Ah, = AK i - й?к 1---1 - ) +

+ "k-i---= Д«/с 1 7--г "к-1 -7 -

A/Ik i

Пк IlK-i ПкПк-1

причем суммирование производится по всем линзам, предшествующим к-й.

Следовательно,

Напишем эти соотношения для к = 2, 3, 4, ...

И т. Д.

Обозначим ДЛЯ краткости

K = i

Л 2 /г 12

У = а,,, и /г?Ф,С, = С, Zj Лкйк+1

Тогда или

= Qa -f Q (0« - а) + Сз (а« - Оз) + .. . -f С« , (а« - a.J

Воспользуемся второй формулой Зейделя (11.52):

J Uk ftj

Заменяя а его значением через yah, получаем после ряда операций, аналогичных тем, которые были приведены при выводе хроматической аберрации увеличений,

\ 1 1 /

Вычисляем влияние изменения высоты h. Обозначим для краткости

О = -

, Зп + 2-„ , 3« + 1- , / п \2-]

Формула (11.217) для г при этих обозначениях может быть написана в виде

(11.221)

Изменение h на A/i приводит к изменению г на Аг:

3hl 3hl

Az =-£-ркс1К = - Рк

(11.222)

Пользуясь формулами (11.218) и (11.222), получаем

Zf - Zc =

{F - c)k + Pk -r-

причем

32 + 2 -2 6ra -2 - , n {3n - 2)

• ASk

k-1 /с -1

Следовательно,

(Zf -гс)к =-тг:

k-1 \

S5 +

/ K-l K-1 \

г/к V -TS yC

После очевидных упрощений получаем

J hn Р« ~

Поперечная аберрация 8g связана с угловой Аг формулой -bg =±= Azs, откуда nabg = -nhAz.

Подставляя вместо Аг его выражение из (11.223), получаем

nabg = - п

pl\vK

3 Ук

J hK

2 S

(11.224) 203

Если система состоит из q компонентов, то получаем

nabg =

<1.

(11.224*)

Другой возможный, но, по-видимому, не приведший пока к удобным формулам способ аналогичен в принципе тому, с помощью которого находят фокус меридионального бесконечно тонкого пучка; но здесь дифференцирование происходит по показателю преломления. Эта задача представляет трудности чисто технического характера, и ее успешное решение, по-видимому, вполне возможно. .

Исправление сферохроматической аберрации в большинстве оптических систем вызывает серьезные затруднения. Впервые на нее обратил внимание Гаусс и, вычисляя радиусы кривизны астрономического двухлинзового объектива, исправил ее. Исправление этой аберрации в двухлинзовых системах возможно только за счет апланатизма, т. е. система, исправленная в отношении хроматической разности сферических аберраций, обладает значительной комой. При этом радиусы кривизны системы, удовлетворяющей условию Гаусса, очень малы, что приводит к большим толщинам линз. Гаусс, очевидно, переоценил влияние иа качество изображения хроматической разности сферических аберраций, считая ее главной причиной, наблюдающейся в длиннофокусных астрономических объективах большой хроматической аберрации. На самом деле этот хроматизм вызывается вторичным спектром. В настоящее время гауссово условие в астрономических объективах не выполняется, так как выполнение условия апланатизма имеет гораздо большее значение. Только в апохромагических объективах микроскопа, где изображение точки на оси системы должно быть безупречным, условие Гаусса должно быть удовлетворено с возможной точностью. В современных фотографических объективах с большой светосилой также необходимо считаться с этим условием, но не следует придавать ему излишнего значения по примеру Рудольфа, высказавшего предположение, что уничтожение хроматической разности сферических аберраций увеличивает глубину резкости объектива; это предположение, по-видимому, ни на чем не основано.

Хроматическая разность увеличений высших порядков

Хроматическая разность увеличений, согласно формуле (П. 195), пропорциональна расстоянию / от изображения точки до оптической оси системы. Строго говоря, формула (11.195) верна только в параксиальной области, а при переходе к конечным значениям углов она становится только приближенной.

Точное значение хроматической разности увеличений может быть получено только путем тригонометрических расчетов хода главных лучей. Зависимость между точным значением разности Lf - Lc и величиной / может быть представлена в виде ряда

Lp - Lc at -f bp + -f . . ., (11.225)

где коэффициент a соответствует формуле (11.195) для параксиальных лучей, а коэффициенты Ь, с определяют аберрации того же названия, но более высоких порядков. На практике бывает достаточно ограничиться вторым членом Ы; третий член с1 настолько мал, что Tim всегда можно пренебречь. Знание члена bl имеет существенное значение, так как он меняет (часто в благоприятную сторону) ожидаемые на основании формулы (11.195) результаты; но воздействовать на него в большинстве известных случаев не оказывается возможным.

Существует еще одна аберрация, родственная предыдущей, но отличающаяся от нее тем, что величина разности Lp - 1 зависит от выбора луча, для которого она вычисляется. Может быть такой случай, что для главного луча {т, = 0) Lp - L. = О, но для лучей с ф О разность Lp - L отлична от нуля и изображение точки окрашено. Эта окраска пропадает при диафрагмировании зрачка. Она особенно заметна в светосильных фотографических объективах и в биноклях галилеевского типа; в последнем случае достаточно чуть-чуть изменить положение глаза относительно бинокля, чтобы заметить резкое изменение цветной каймы, наблюдаемой на краях поля зрения бинокля. С указанной аберрацией, аналитическое выражение которой никем еще не вычислялось, обычно нет возможности бороться.

Зависимость хроматических аберраций от положения предмета и входного зрачка

Хроматические аберрации как положения, так и увеличений зависят от расстояний до системы плоскостей объекта и входного зрачка. Этот вопрос изучен А. И. Тудоровским [1] на основании инвариантов Аббе и мы его здесь решим с помощью формул Ньютона, относящихся к кардинальным точкам оптической системы.

Хроматическая аберрация положения. Пусть Н и F - главная точка и фокус в пространстве изображений. Расстояние от последней поверхности системы до задней главной плоскости обозначим через о; от фокуса до изображения А - через t; соответствующие величины в пространстве предметов - через ant (рис. 11.46).

Формула Ньютона дает