главных плоскостей da и do и хроматических аберраций фокусов А/ и А/ (или df и д).

R частном случае, когда п = п н ds = 0. имеем

В еще более частном случае бесконечно тонких систем do и

do обращаются в нуль и получаем формулу

(11.230**)

которая для простой линзы легко приводится к формуле (11.184*).

Хроматическая разность увеличений. Рассмотрим сначала хроматическую разность увеличений в виде

, / / \ dl dl

Очевидно, что от положения входного зрачка она не зависит. Из формулы параксиальной оптики ~ = получаем диф-

ференцированием

dl di

df ds - da - df dr

(11.231)

Переходим к более важной для практических целей хроматической разности увеличений 6L, отнесенной к одной общей плоскости установки. Как это было показано на стр. 182, переход от df к dL происходит по формуле

dL I-

= dl + ds Wd dl , ds

x - s

(11.232)

Заметим, что здесь, во избежание недоразумений, величина р

заменена величиной w

Из (11.231) и (11.232) получаем dL dl , ds-da-df

dl i

dsi±

df

/ X - s

da df df

X - s

Ha стр. 82 было показано, что

! п х - т X - S = г--1-

П XX

где т = - величина, обратная увеличению в зрачках.

Дифференцируя, получаем

Обозначим для краткости выражение -,---- через д. Тогда

- д.

(11.226)

(11.227)

t = s - a - f; fs-a-r,

откуда

dt = ds - da - df; 1 df =ds~da - df. J

С другой стороны, / и / могут быть выражены через фокусное расстояние и увеличение системы. Введем по-прежнему величину т где у - угловое увеличение системы. На стр. 80

было показано, что

Рис. 11.46

откуда получаем для t и f

А = f + f = ±-{nr-n),

f = fx.

(11.228)

Подставив в уравнение (11.226) выражения (11.227), используя (11.228) и учитывая зависимость / от /, получаем после приведения подобных членов

ds-ads = da-ada + df ( -) + fd . (11.229)

Здесь а означает продольное увеличение, т. е. а = .

Вводя линейное увеличение (3 =, можно (11.229) написать в виде

ds-ads = do-ado + (\-р)df + f {I - p)pa. (11.230)

Как и следовало ожидать, хроматическая аберрация положения зависит от четырех величин: хроматических аберраций двух

Переход к величине х ~ s с помощью инвариантной формулы / = п1и = п1и = п {х - s) wu = n{x - s)wu

дает

Множитель при ds равен -г- + -тт--г

f т (т - т) •

Заменяя ds его значением из (П.230), производя приведение подобных членов и полагая dl = ds = О, получаем для

, , , dL (т т) - =

= --(1-Р)(1-Р) + (р-1)та + (11.233)

Рассмотрим несколько частных случаев.

1. Система в воздухе {п = /г):

(т - т) 4 = - - (1 - Р) (1 - Р) + -1- [da - РР da).

2. Бесконечно тонкая система в воздухе {da = da = 0): (т-т)4 = -1(1-Р)(1-Р).

3. Симметричная система в воздухе {da = da; Р = т = 1; д = 0):

(1-Р)4-(1-Р);

f da f

Любопытно, что хроматическая разность увеличений не зависит от положения предмета.

Если симметричная система бесконечно тонка, то da = О, dL

а следовательно, = 0.

Таким образом, хроматические аберрации параксиальной оптики в самом общем случае зависят от четырех параметров {df,

da, da, ---для систем в воздухе - от трех (отпадает

~---~у, для бесконечно тонких систем в воздухе аберрации

зависят от одного лишь параметра df.

Можно ли получить систему, у которой исправлены обе хроматические аберрации параксиальных лучей для любого положения предмета? Из формулы (И.230) видно, что на поставленный вопрос можно ответить утвердительно лишь в том случае, когда

5 = = 0. Тогда при do = do = df = О аберра-

ция ds равна нулю для любого положения предмета. Если же показатели крайних сред не одинаковы, аберрация не может быть исправлена для любого положения предмета.

То же заключение можно сделать относительно второй хроматической аберрации параксиальныхучей, как это видно из формулы (П.233). Впрочем, при т = О, когда входной зрачок находится на бесконечности, хроматическая разность увеличений может быть исправлена при любом положении предмета даже для различных показателей крайних сред, если df = О, do = 0.

Это вытекает из элементарных геометрических соображений.

Вычисление хроматических аберраций кардинальных точек

Как было показано выше, хроматические аберрации параксиальных лучей могут быть получены для любого положения предмета и входного зрачка, если известны величины 6s, б/, ба

и д = ---~. Последняя может быть вычислена непосредственно. Первые три люгут быть вычислены либо с помощью тригонометрического расчета хода двух параксиальных лучей, например лучей, падающих на систему параллельно оси в прямом и обратном ходе, либо на основании сумм £ /iC и 1] уС.

1. Вычисление 6/, бст и ба на основании тригонометрического расчета хода параксиальных лучей. Разность величин sp - = = 6s, как вытекает из формулы s = а + /, равна

6s =ба + 6/.

Величина б/ равна разности

/ h,

Зная б/

и 6s, получаем бп = 6s - б/.

В обратном ходе можно получить соответственные величины б/ и ба; контролем может служить зависимость

f /

откуда

Г f

= д.

2. Вычисление б/ и ба на основании сумм £ и £ уС. Для продольной хроматической аберрации 6s имеем: при ар = 1, /ii = 1

ип. (11.234)

6s = - Ц hC;

14 г. г. Слюс

арев

при ар = 1, h\ ~ f или hp = Sp

6s = - Е hC.

Для аберрации фокусов при = можно использовать формулу (11.192)

-f - = - + 4- Е УС-а. (1I.235)"

Замечая, что / = iipaplp = п f при «р = 1 и Pi = 1 и что* / = /Pi при Pi = 1, получаем б/ = б/; следовательно.

б/ б/

Кроме того,

с другой стороны.

f ~ г

рр Рр

Подставляя полученные выражения в формулу (11.235), получаем n6f = i;/zC-ЦуС (11.236)

при ар = 1, 1 = /, Уг = Xi, ftp = sp.

Вычисление бст производится на основании формулы

Ьб = bs-br.

Подставляя вместо 6s и б/ их выражения из (11.234) и (11.236), получаем

Величина

n6a=4SC-(l+)SftC.

/ т + п f пх + п

(11.237)

п х

п х

представляет собой расстояние от передней главной точки системы до центра входного зрачка или, точнее, до точки пересечения с осью вспомогательного луча. В случае, когда п = п \, имеем

(11.238)

3. ВЫЧИСЛЕНИЕ АБЕРРАЦИЙ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМ ПУТЕМ И ИХ ГРАФИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ

При расчете оптической системы часто бывает необходимо исследовать более или менее подробно некоторые из промежуточных вариантов как с целью оценки качества, так и с целью сравнения фактических результатов с ожидаемыми. При этом для облегчения сравнения и оценки очень широко пользуются графическим представлением аберраций. Полное и всестороннее исследование качества изображения оптической системы требует расчета такого количества лучей, которое позволило бы вычислить отклонения bg и 6G для луча с любыми заранее заданными координатами 1\, т\ и М\ (или /р, /Пр и Мр). Для некоторых оптических систем с малыми относительными отверстиями отдельных линз и с малыми углами поля бывает достаточно знать только зейде-левы суммы и коэффициенты хроматических аберраций, чтобы с достаточной точностью, не имея ни одного расчета хода луча через систему, вычислять отклонения bg и 6G. Чаще всего при наличии небольших аберраций пятого порядка можно ограничиться расчетом хода нескольких лучей; наконец, в современных светосильных и широкоугольных системах только очень большое число лучей позволяет решить поставленную задачу.

В дальнейших главах о расчете конкретных систем будет указано, как обычно поступают в различных случаях; здесь же будет рассматриваться решение задачи в общем виде. Пусть 21 - угол поля зрения системы и - ее апертурный угол. Качество оптической системы характеризуют, оценивая изображение нескольких точек, отстоящих от оси на расстояниях, соответствующих различным углам поля. Число этих точек зависит от требований, предъявляемых к системе, и от характера изменения аберрации с углом поля. Обычно берут, кроме наклона W = О, еще два наклона, например гх) = -у- и w-. Если

аберрации системы для различных значений углов w сильно отличаются по величине, берут помимо w = Q еще три, а иногда и четыре значения угла w.

Из каждой точки пространства предметов, соответствующей определенному значению w, проводят несколько лучей через различные точки входного зрачка в меридиональной плоскости [М = 0) к несколько косых {М ф 0) лучей. Число лучей должно быть такое, чтобы возможно было вычислять путем интерполирования величины bg и bG для любого значения пгп Mi. Обычно ограничиваются тем, что удовлетворяют этому условию при М = О, так как расчеты хода лучей в меридиональной плоскости сравнительно просты. Прн М ф О рассчитывают ход нескольких лучей, выбранных обычно так, чтобы их точки пересечения с входным (или выходным) зрачком находились на окружностях