с центрами на оси системы. В случае виньетирования системой можно брать точки на входном зрачке по краям работающей для данного поля части зрачка; остальные точки подбираются таким образом, чтобы на основании возможно ограниченного их числа получить представление о зависимости bg и 6G от и М. Графическое представление аберраций не только дает весьма наглядную картину искомых зависимостей между отдельными-отклонениями и координатами лучей, hq позволяет также обнаружить ошибки вычислений.

Аберрации для точки на оси (w =0) •

В случае, когда точка-предмет находится на оси, аберрации системы могут быть вычислены, если даны расстояние р от оси до точки пересечения луча с входным зрачком и длина волны X или цвет луча. Так как в этом случае картина аберраций симметрична

относительно оси, можно принять, что р = nil- Рассчитываются тригонометрически ход параксиального луча nil = О я нескольких лучей (от одного до трех в зависимости от сложности кривой), пересекающих входной зрачок на разных расстояниях nil и обычно выбранных так, чтобы их квадраты составляли арифметическую прогрессию. Если радиус зрачка р, то берут nii равным

либо р /- и р, либо р/-у-.

р ]/-- и р и изображают графически

зависимостьвеличины 6s от при постоянном X. Принято откладывать 6s по оси абсцисс, а - по оси ординат. Такие кривые (сплошные линии на рис. П.47) вычерчиваются обычно для трех цветов - С, D, F или С, е, F для «визуальных» систем; для фотографических объективов - в зависимости от их назначения. До 30-х годов нашего столетия, когда преобладали камеры, снабженные матовым стеклом для наводки на фокус, наибольший интерес представляли лучи D, F я G. Фокусы для цветов D я G должны были совпадать; коррекция аберраций производилась для цвета D или лучше - F. Для телеобъективов, работающих обычно со светофильтрами (оранжевыми и красными), рассчитывают аберрации для цветов D, С, А. Дополнительную характеристику дает кривая отступления от отношения синусов, если она наносится на тот же график, что и сферическая аберрация, и в определенном масштабе (штриховая линия на рис. П.47).

В случаях, когда величина ц = Ь sin и ---Д-г- как функ-

Рнс. 11.47

ция от sin и (или hi, или /п) быстро меняется, можно ожидать больших значений комы даже при малых углах поля. Необходимо построить график функции

Г) = ( 6s sin и

tg«

при аргументе sin «, как это было указано на стр. 117 и 152; производная от т) по sin и, равная "г > пропорциональна коме согласно формуле

Kl Если S оо, имеем

sin »

7- / 6ssin и -(-

6s tg ц \

d sill и

Пример. Один из вариантов расчета телеобъектива дал

"stgw \

для величины г\ = -sin и +

приведенные в табл. 11.14.

Можно графически опреде-

лить производную . ,

(рис. 11.48). В точках hi = 33,30 я hi = 28,84 она равна 0,004 и 0,000. Тригонометрический расчет комы для лучей, пересека-

Таблица 11.14

= /(sinM) значения.

Wf(sm/j

О 10 20 30 50 Рис. 11.48

ющих входной зрачок на высотах +33,30 и ±28,84, дает соответственно следующие результаты: = 0,0180 и 6g- = 0,0001.

Умножая угловой коэффициент касательной на / == 5 мм, получаем для комы при nxi = ±33,30 bg = 0,020, а при mj = = 28,84 bg = 0,0. Совпадение в пределах точности чертежа.

Техника вычисления производной от / (sin и)

Вычисление комы с помощью вычерчивания кривой и построения касательной не всегда удобно; во многих случаях, когда функция / (sin и) изменяется достаточно медленно, можно использовать вычисления функции / для нескольких заранее определяемых значений. Например, можно условиться о вычислении /

для значений nii, убывающих по закону т, т tn ,

откуда следует, что и sin и будет меняться по такому же закону (с достаточной для определения комы точностью).

Зная эти значения /, можно определить производную этой функции следующим образом.

Разложим / (sin и) в ряд по степеням sin и:

f (sinu) = asin и -- 6sin и -- csin и.

Вместо sin и введем отношение

sin и sin и

= S («), где -

угол крайнего луча с осью в пространстве изображения. Тогда

df (sin и)

d(sin и)

= 3as2 («) + 56s* («) + Tcs" («)•

Зная величину / (sin и) для трех вышеупомянутых лучей, можно определить коэффициенты а, b н с. Обозначим для краткости S (1), S (з) и S (Vg) величину s («) в случаях, когда отно-

---г принимает соответственно значения

шение

1, -/я и

Не приводя промежуточных вычислений, получаем rf/ (sin и)

Sin ик sin Uk

d(sin и) Ji/.ч 3

d f (sin u)

Ld(sin.)j2/3="-"3-/>+3P--4p3;

df (sin tt)

d(sin u) J 1

Pi = / (sin««);

P3 = f

= 12pi-18p2 + 9p3,

(11.239)

sin "к sin

Формулами (П.239) следует пользоваться только при плавном ходе функции / (sin и).

Степень применяемости упрощенной формулы для комы

Эта формула имеет вид

/С„,-3/ 6, + -.

Оценить ее погрешность можно следующим образом. Разлагаем в ряд величины 6s и б, удерживая два члена в разложении:

- = А sin и + В sin и;

x~s

63 = ЛlSin2« + BiSin*«.

Составим / («) = (-rzry + sin ")• Подставляя вместо , и их значения, получаем

/ («) = (Л + Ai) sin и +\В+ Bj+{A~ Ai) 1 sin-5 и;

К„г = 1 3(-f i)sinr + 5 В+ Bi + ~{A~Ai)

sin* u\ =

= {з(-7 + б.)+2[5 + б1 +

(A-Ai)

sm* и

Km - Km = 21

B + Bi+iA-A,)

(11.240)

Из последней формулы следует, что приближенная формула, выведенная без учета влияния членов высшего порядка, учитывает большую часть ~ примерно 3/5 - этих членов. Тем не менее пользоваться ею можно только в тех случаях, когда по виду кривой можно судить о том, что производная от функции / (sin и) не может принять больших значений. Приведенный в качестве иллюстрации пример выбран специально потому, что в нем явно заметна тенденция функции к быстрому изменению на краю отверстия. Системы, обладающие такими свойствами, имеют большую кому высших порядков по отверстию.

Рассмотрим в качестве иллюстрации к графическому изображению аберраций для точки на оси пример одного из промежуточных расчетов фотообъектива с f = 100; 1:2; х ~ s = 107,5. Цифровой материал приведен в табл. 11.15.

График, соответствующий таблице, представлен на рис. 11,.49. На нем изображены сплошными линиями две кривые продольной сферической аберрации для лучей D и С (началом ©читается параксиальное изображение для D) и штриховой линией - кривая б/ для линии D,

Таблица 11.15

Из графика можно сделать следующие выводы. 1. Для желтых лучей (D), а также для фиолетовых (G) кривые сферической аберрации имеют две точки перегиба; следовательно, коэффициенты при членах различных порядков сферической аберрации имеют различные знаки.

2. Хроматическая аберрация положительна, или, как принято иногда говорить, она переисправлена, так как простые линзы всегда дают отрицательную аберрацию. Хроматическая разность сферических аберраций отрицательна, что является большой редкостью, так как эта аберрация обычно положительна.

Для контроля хроматической аберрации увеличений полезно применить формулу (11.198):

Lp-Lc

dn, drip «1 п

которая позволяет на основании результатов Рис. 11.49 тригонометрического расчета параксиальных лучей С и F или других цветов, рассчитанных для точки на оси, вычислить хроматическую разность увеличений, не рассчитывая главных лучей.

Аберрации для точки вне оси (w ф 0)

Для графического представления степени сходимости лучей, излучаемых точкой, находящейся на некотором линейном или угловом расстоянии от оси, можно использовать прием, аналогичный тому, который применялся в этой же главе для характеристики отдельных аберраций. Делим плоскость входного зрачка на кольца одинаковой площади, описывая несколько окружностей с центром О на оси (рис. П.50). Квадраты их радиусов ОС, OBi, OAi образуют геометрическую прогрессию. Из центра проводим несколько прямых ОА, OA 2, ОАд, . . ., ОА, образующих между собой равные углы, например 15, 30 или 45°, и разделя-

ющих полуокружность йа целое число частей, и через все точки пересечения прямых с окружностями Ai, Л», . . ., А; В, В, . . . . . ., Вк, Ci, С, , Ск проводим лучи из точки объекта. Вычисляем ход этих лучей через систему и находим отклонения bg

и бОр для каждого луча. Выбрав систему декартовых координат, откладываем в условном масштабе 8g по оси ординат, 6G - по оси абсцисс. Соединяя кривой все точки, соответствующие одной окружности в плоскости входного зрачка, при обязательном соблюдении порядка номеров получаем несколько кривых, расположение которых дает некоторое представление о характере распределения лучей: места, где точки располагаются гуще, указывают на те области в плоскости изображения, где освещенность будет наибольшая.

К сожалению, описанное графическое представление требует громадной работы вследствие большого числа косых лучей (на рис. 11.50 их девять) и потому на практике может быть осуществлено только в весьма редких случаях; однако оно весьма желательно для изучения качества изображения точек, близких к краю

входной зрачок

Рис. 11.51

поля зрения, в системах с большими апертурными углами, где .могут встретиться непредвиденно большие аберрации.

В качестве примера на рис. 11.51 изображены точки пересечения шестнадцати лучей (четырех меридиональных и двенадцати косых) с плоскостью изображения, даваемого фотографическим объективом с относительным отверстием 1 : 4,5 и фокусным расстоянием 210 мм, для объекта-точки, расположенного в меридиональной плоскости на угловом расстоянии Wi = -15° от оси.