Главная -> Книги

(0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20) (21) (22) (23) (24) (25) (26) (27) (28) (29) (30) (31) (32) (33) (34) (35) (36) (37) (38) (39) (40) (41) (42) ( 43 ) (44) (45) (46) (47) (48) (49) (50) (51) (52) (53) (54) (55) (56) (57) (58) (59) (60) (61) (62) (63) (64) (65) (66) (67) (68) (43)

Таким образом, если обозначить параметры Р и W перевернутой системы буквами Р и W, то будем иметь

P = P 4W + 4 + 2n; W = -W + 2 + n. j

Для того чтобы система не изменяла аберрации третьего порядка при переворачивании, мы должны, очевидно, иметь Р = Р и W = W, следовательно.

(III.30)

W = 1 -- ; Р - произвольное.

(III.31)

Это приводит к любопытному свойству бесконечно тонких систем. Все бесконечно тонкие системы, у которых W=l---

(т. е. примерно 1,35), не меняют своих аберраций, когда их переворачивают. Что же касается величины Р, то, оказывается, она никакой роли не играет, так что достаточно только одного условия, (а не трех, как следовало бы ожидать) для достижения указанного ретультата. Отсюда вытекает другое свойство бесконечно тонких симметричных систем: каково бы ни было число линз, их радиусь! и сорта стекол, из которых они изготовлены, величина W, относящаяся к ним, всегда равна 1 +, т. е. приближенно 1,35.

Это свойство действительно оправдывается в случаях простой симметричной и тройной симметричной линзы.

Таким образом, бесконечно тонкий симметричный объектив (или практически достаточно тонкий объектив) имеет всегда значительную кому, если входной зрачок совпадает с ним.

Случай, когда /г и и не равны единице. Рассмотрим важный для ряда приложений (зеркально-линзовые системы, гидроперископы и др.) случай, когда показатели крайних сред не равны единице, а равны соответственно п и га.

С помощью выкладок, аналогичных тем, которые были приведены на стр. 252, получаем для Р следующее выражение:

п!"Р = (nal - naf Р + ппа. (na - naf (4W - 1) +

+ rtV «2 {na -па)

- 2h

или еще

n P = (na - naf P + Anna (na - /га) W +

+ nna (na - na)

2 - nh

Если заметить, что na- па представляет собой произведение /1ф, то можно написать для п Р

пР = /г VP + 4rtna/iVW +

4- ппакц) [2па (2 + пл) - na].

Аналогично для я и W получаем следующие формулы:

л = - /г

nW = (na - «а)2W +-а«га(na - na) [-- +

причем а = 0; а = 1.

Коэффициенты С,-, от которых зависят хроматические аберрации положения и увеличений, не зависят ни от положения предмета, ни от положения входного зрачка. Поэтому С,- можно рассматривать как основной параметр компонента L

4. ОСНОВНЫЕ ПАРАМЕТРЫ В ПРОСТЕЙШИХ ОПТИЧЕСКИХ

СИСТЕМАХ

Возвращаясь к формулам (111.7) и (111.25), замечаем, что можно при п0м1щи формул (111.25) исключить величины Р и W из выражений сумм (П1.7) и после исключения получить новые выражения для сумм в таком виде:

= S (mt. .-Р,- + «л ,W, + Ри ii), ("I-32)

где St обозначает какую-нибудь из пяти сумм третьего порядка с порядковым номером t. Коэффициенты т, п п р зависят только от внешних элементов компонентов (фокусные расстояния линз, расстояния между ними, положение плоскости предмета и входного зрачка); основные параметры Р;, W,- и я- зависят только от радиусов кривизны и показателей преломления стекол отдельных компонентов. Таким образом, произошло разделение переменных на две группы, позволяющие делить расчет системы на две независимые части; в первой части вычисляют все внешние элементы системы, основываясь на габаритных требованиях. В большинстве телескопических систем требования габарита определяют внешние элементы системы однозначно. Зная все коэффициенты т, пир, можно составить для всех аберраций, подлежащих исправлению, ряд выражений для сумм Зейделя и, подставив вместо левых частей уравнения (111.32) нуль или определенные числа, связанные с условиями исправлений,- получить уравнения.

1 Вопрос об определении численных значений величин S( будет рассмотрен в гл. V.



которым должны удовлетворять значения конструктивных элементов системы.

Пусть исправлению подлежат г аберраций. Составляются уравнения вида (П1.32), содержащие 3s неизвестных Р;, и Л;, где S - число компонентов; однако, вследствие того, что величина я колеблется всегда в очень узких пределах и практически постоянна, число независимых переменных равно всегда только 2s; поэтому рационально брать г = 2s.

Решая систему г линейных уравнений с г неизвестными, получаем для параметров Р/ и всех компонентов определенные значения. Следующей задачей является расчет компонента, удовлетворяющего полученным для его параметров Р и W значениям. Для этого надо изучить связь между основными параметрами системы и ее внутренними элементами. Эта связь в большой степели зависит от сложности компонента. В дальнейшем она будет изучена для случая простой линзы, потом для случая двух и трех склеенных линз.

В бесконечно тонкой простой линзе величины Р и W зависят только от одного параметра, например «2 - угла с осью системы первого параксиального луча во второй среде (в стекле); «д примем, как было условлено ранее, за единицу. Таким образом, «2 вполне определяет форму линзы при условии, что показатель стекла известен .

Выражая W и Р как функции от «2, получаем

Да /

ft \ ft -

1-2 +

«2 +

Да . a ft /1 ft -4- 1 \

(III.33)

Укажем на одно важное соотношение, связывающее величины Р и W. Напишем Р в виде:

Р = Р„ + (а2-аоР. (1П.34)

где «о - то значение «2. при котором величина Р достигает своего минимального значения. При этом

2ft + 1 1

"о ~ ft + 2 2

Р (4ft-1) ft

о 4 (2+ft) (ft-1)2

ft (2 + «) (ft-1)2

(III.35)

Из уравнения, связывающего W и а2, находим «2; это дает

ft п - 1

«2 =

ft + 1 ft + 1 исключая «2 из выражения для Р, получаем

(п+1)Ч L

2 (2 + ft) J

(III.36)

Численное значение коэффициента перед вторыми квадратными скобками и значение W, прн котором Р достигает минимума,

X. е. тгттггг , практически постоянны, как

2(2 + ft) табл.ЛП.2.

показывает

Таблица III.2

, 1

1 1

2 (2-Ьп)

2 (2-Ьп)

1,50

0,840

0,143

2,14

1,80

0,872

0,132

1,15

1,55

0,141

1,88

1,85

0,877

0,130

1,06

1,60

0,852

0,139

1,67

1,90

0,881

0,128

0,99

1,65

0,858

0,137

1,50

1,95

0,885

0,127

0,93

1,70

0,863

0,135

-1,36

0,889

0,125

0,87

1,75

0,868

0,133

•1,24

Из таблицы видно, что величина Ро меняется значительно и потому не может считаться постоянной. Таким образом, можно для Р написать следующую формулу, являющуюся достаточно точной в широкой области изменения величин Р и W:

P = Po + 0,85(W-0,.14)

(III.37)

Это соотношение имеет чрезвычайно важное значение, и потому на нем следует остановиться, тем более что, как будет доказано впоследствии, оно сохраняет значение для всех бесконечно тонких склеенных линз, но только оно становится менее точным. Из формул (П 1.35)-(И 1.37) можно сделать следующие выводы:

1. Величина Р принимает минимальное значение, когда W равно числу 0,14.

2. Минимальное значение Р всегда положительно и меняется в пределах от 1,3 до 2.

3. Форма кривой и ее расположение относительно оси W = О не зависят от значения показателя преломления. Это следствие

и 1--, Практически по-

того, что коэффициенты

сто ЯННЫ.

2 (2 + ft)

(1-f п)2



График зависимости J* от W для различных показателей преломления стекол представлен на рис. II 1.2.

Для предварительного подсчета аберраций тонких линз часто бывает полезным знать, как меняются основные параметры Р и W при изменении формы линзы (показатель преломления линзы принят II = 1,5):

Линза

Плоско-выпуклая с первой поверхностью плоской ....................

Равносторонняя ................

Плоско-выпуклая с первой поверхностью выпуклой

3,00 1,33 -0,33

9,00 3,33 2,33

Принимая во внимание уравнения (II 1.33) и замечая, что отрицательным значениям параметра соответствуют отрицательные кривизны поверхностей


-"

1,5 1.6 1.7 2.0

линзы, приходим к заключению, что менискам с отрицательными радиусами кривизны соответствуют большие положительные значения W и Р.

Для плоско-выпуклой ЛИНЗЫ

с плоскостью, обращенной к предмету, основные параметры принимают значения W = 3 и Р = 9. Когда линза становится двояковыпуклой и переходит к выпукло-плоской форме, величины Р и W продолжают уменьшаться. Они достигают минимума, когда первый радиус кривизны приблизительно в 6 раз больше второго (при противоположных знаках); при этом W = 0,I4; Р = 2,14. Дальше W принимает отрицательные значения с увеличивающейся абсолютной величиной, а Р снова возрастает. Параметр jt практически постоянен, меняясь от 0,60 до 0,67.

В общем случае, т. е. когда а += О и а =f 1, связь между W и Р выражается с помощью соотношений, которым в целях облегчения вычислений придан такой же вид, как в формуле (III.36). Эту формулу можно написать в таком же виде, как при а = О, а именно:

P = a{W-W,f + P„

«(2 + n) . (1-р)а2 .

Рпс. П1.:2

"~ l)2(i; 0 2(2.+ п) (4п 1)(1+р)2а2

4 (2 -f п)

а


Рнс. И 1.4



(0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20) (21) (22) (23) (24) (25) (26) (27) (28) (29) (30) (31) (32) (33) (34) (35) (36) (37) (38) (39) (40) (41) (42) ( 43 ) (44) (45) (46) (47) (48) (49) (50) (51) (52) (53) (54) (55) (56) (57) (58) (59) (60) (61) (62) (63) (64) (65) (66) (67) (68)