в силу соотношения

n = n, + f,{t-t,),

где р коэффициент, определяющий зависимость изменения показателя преломления от температуры, имеем

Аг. dt

а следовательно.

dl dh

(IV.ll)

Отклонение происходит в сторону высоких показателей. Общее отклонение луча е равно сумме ei + е.

Если градиент температур направлен вверх, а коэффициенты а и р положительны, как это имеет место для обычных сортов оптического стекла, оба отклонения имеют один и тот же знак: луч отклоняется вверх. Условимся такое отклонение считать отрицательным, поскольку в построениях геометрической оптики принято считать положительным поворот но часовой стрелке (т. е. отклонение, направленное вниз; при этом считается, что свет распространяется слева направо).

Поэтому для 8 = Ё! получаем

Рис. IV.8

е = - (п - 1) а

t (h) dh

-e(ft)p

Обозначим для краткости буквой g, помня, что эта величина является функцией от h; вместо е (h) и t (h) напишем просто е я t. Тогда имеем

е = -(я-1)а eg~-e"\tdh -epg \ о /

или еще

= gg[(„-l)a + p] + (n-l)cce" ltdh. (IV.12)

Некоторые частные случаи

Несимметричное распределение градиента. Рассмотрим два случая.

1. Случай, когда деталь ограничена плоскими поверхностями (параллельная пластинка и призма с малым преломляющим углом, расположенные так, чтобы их грани образовали с градиентом небольшие углы, косинусы которых можно принять равными единице).

В этом случае е" = О и формула (IV. 12) принимает вид

e = -eg[(tt-l)a + p]. (IV.13)

Если соблюдено соотношение (/г - 1) а + р = О, что примерно имеет место для некоторых специальных оптических материалов, отклонение е равно нулю и деталь можно назвать «нерасстраи-ваемой», так как отклонение отсутствует не только при постоянном (кривизны равны нулю), но и при любом градиенте температур.

Если величина (/г - 1) а + р отлична от нуля, то отклонение е пропорционально произведению egy, где для краткости положено у = (tt + 1) а + р.

Если оптическая деталь представляет собой плосконараллель-ную пластинку, е постоянно и отклонение пронорционально градиенту; если последний постоянен, отклонение также постоянно и плоскопараллельная пластинка действует как клин.

Если оптическая деталь является клином, отклонение растет пропорционально толщине. Происходит расфокусировка пучка; если он был параллельным, то становится сходящимся, когда градиент направлен вверх.

Пример 1. Плосконараллельная пластинка толщиной в 100 мм из стекла К8. Примем, что градиент температуры составляет 1° на 1 см. Для стекла К8 коэффициент а равен 70 X X град; коэффициент р равен 2S-\0~ град. Имеем е = = -100-0,1 •70-10--206 ООО = -14".

Пример 2. Клин диаметром 200 мм из стекла К8. Толщина у верхнего края О, у нижнего - 50 мм. Градиент составляет 1° на 1 см. Пользуясь вычислениями примера 1, получаем: отклонение на верхнем крае равно О, на нижнем - 7". При диаметре 200 мм такая разность отклонений соответствует радиусу кривизны поверхности выходящей волны

200 мм , - = 1

2. Случай, когда деталь ограничена неплоскими поверхностями. Рассмотрим наиболее важный для практики случай линзы. Предположим, что при нагревании температура осевой части линзы не меняется.

Зависимость толщины е от высоты h имеет вид

/1 1

- 0 2(rt -1) /

где бо - толщина линзы в центре; / - фокусное расстояние линзы.

Предположим, что градиент g постоянен и направлен перпендикулярно оси. Согласно формуле (IV. 12) получим

8 = -

После сокращений, производимых вследствие того, что деформация линзы при постоянном градиенте сводится к нулю, полу-чаем

е - - бо [(п - 1) а + Р1-f р 27;:::Т)7

(IV. 14)

Первый член постоянен и очень мал. Практически остается только второй, зависящий лишь от р.

Поскольку е пропорционально h, изображение отягчено комой.

Пусть диаметр линзы 500 мм, f = 5000, стекло - К8; разность температур по краям 10°, g = ; поперечная кома в фокальной плоскости равна 0,004 мм, т. е. очень мала.

Хотя кома, вызываемая постоянным градиентом температуры, мала, но в некоторых случаях ее желательно исправить. Это можно сделать подбором сортов сТекла. Рассмотрим, например, случай двухлинзового объектива. Кома К, вызываемая системой двух линз, находящихся на бесконечно близком расстоянии друг от друга, определяется величиной

h\ h\

==Рч(«,-1); + Р2(«,-1);

где индексы 1 и 2 соответствуют номерам линз. Если h- условие отсутствия комы выражается уравнением

/г,, то

7 = 0.

(«i-l)f; («2-02

Ввиду того, что в двухлинзовых объективах осуществляется также условие ахроматизма

-f+-V=o.

где Vl и V2 - коэффициенты дисперсии стекол, то должно быть соблюдено условие

rt, - 1

п,- 1

- Р2

Д«1 Д«2

где А/г - дисперсия стекла.

Обычно применяемые для астрономических объективов сорта стекол удовлетворяют этому условию: отношение дисперсии для стекол К8 и Ф1 около 0,5, а отношение р также близко к 0,5. Происходит автоматическая компенсация искажения изображения.

Распределение градиента, симметричное вокруг оптической оси. Большая теплопроводность металлических оправ по сравнению с теплопроводностью стекла приводит к тому, что оправы быстро воспринимают температуру окружающего воздуха и создают около края стеклянных линз определенную, одинаковую для всего контура температуру, отличную от температуры стекла, вследствие чего внутри последнего образуется более или менее симметричное распределение температур. Этому распределению можно в первом приближении придать вид t = Ah, где А - некоторая постоянная, а /г - расстояние рассматриваемого элемента оптической детали от оптической оси.

Градиент g определяется формулой

g = 2Л/г.

Рассмотрим сначала случай деталей, ограниченных плоскими поверхностями (плоскопараллельные пластинки, клинья), нормаль к которым образует с градиентом углы, близкие к 90°.

Из общей формулы (IV. 12) вытекает

s = -eg[(n-l)a-f р] = -2Л/ге[(/г-1)а4-р]. (IV. 15)

Для плоскопараллельной пластинки е постоянно и е пропорционально h. Это соответствует расфокусировке или смещению Плоскости изображения.

Для клина е (Я) меняется по линейному закону, а е - по квадратичному. Поэтому на оси появляется кома. Рассмотрим численный пример для клина, где е максимальное равно 100 мм.

h = 250 мм, А =

10°

(т. е. разность температур в центре

(250)2

и на краю равна 10°); стекло - К8.

Для вычисления угловой комы надо составить величину • 8 (250) + е (-250)

При этом

откуда

е(250) =0, так как е = 0; е(0) = О, так как h = 0,

е (-250)

= 6".

Как было отмечено выше, применение материала, для которого (rt - 1) а + р = О, устраняет все последствия неравномерного

нагрева.

Для линзы

#е 1

2{п-\)Г

t{h) dh =

g = 2Ah;

Ah"

Рис. IV.9 Если пренебречь толщиной линзы

в центре, получаем отклонение е, пропорциональное h; следовательно, в результате неравномерного нагревания, вызывающего параболическое распределение температур, симметричное около оси, возникает сферическая аберрация.

Пусть (рис. IV.9) луч АВ отклоняется в точке А на угол е. Если луч образует с осью угол и, расстояние ОВ = s, расстояние OA = h, то легко получить при малом е

h&

ВВ = 6s = -

sin и

Итак, продольная сферическая аберрация, вызываемая температурным распределением параболического типа, определяется формулой

, Ah / Ё ,Аа\ / sinW \п-1 3 )

(IV. 16)

Отметим, что продольная сферическая аберрация пропорциональна 4-й степени h, как и следовало ожидать.

Предположим, что у линзы диаметром 500 мм с фокусным расстоянием 5 м разность температур на краю и на оси составляет 10°, стекло - К8. Сферическая аберрация (продольная) на краю согласно выведенной формуле равна 0,5 мм.

Формулу (IV. 16) можно написать в более кратком виде, если задается разность температур между краем и осью. Пусть

есть эта разность. Тогда А = и, ввиду того, что sin и =-jr 294

формула (IV. 16) принимает вид

6s = / А

п - 1

(IV. 16*)

т. е. сферическая продольная аберрация на краю отверстия зависит только от А и от термоонтической характеристики стекла.

Этими примерами исчерпаны наиболее простые и интересные на практике случаи распределения температуры в оптических деталях. Влияние более сложных случаев распределения температуры может быть определено с помощью выведенной в этой главе общей формулы (IV. 12).

4. СВОДКА ОСНОВНЫХ ФОРМУЛ Случай, когда градиент температуры отсутствует

Условимся обозначать через V величину

- а,

где Р - коэффициент температурного приращения показателя преломления; а - коэффициент расширения материала детали.

Изменение фокусного расстояния бесконечно тонкой линзы при изменении температуры А определяется формулой

(1V.3)

Если бесконечно тонкий компонент находится в воздухе, то

As=-s2Ai;9,V,.; (IV.4)

А/ syMffiVi,

(IV.5)

где As - смещение плоскостей изображения, вызываемое изменением температуры А; А/ - смещение точки пересечения главного луча с плоскостью изображения при изменении температуры А.

В системах, состоящих из нескольких бесконечно тонких компонентов, величины As и А/ складываются из нескольких составляющих, зависящих от влияния изменения температуры на параметры отдельных компонентов, на воздушные промежутки между ними, на положение плоскости приемника. Для изменения s - положения изображения при любом числе компонентов - имеем

As =

l)d,a, + 6

А/. (IV.7)