на основании которых можно написать

«1 («? + Щ)

- 2npbgu -

(3S„, + S

- 2np8gv = Fw%,;

- 2npbG

- 2np66,1 = -!- -

{VIA)

- 2дрбОу==0.

Эти формулы отличаются от (VI.3) только несколько иной системой единиц для выражения сумм Sj, Su, . . ., Sy. В первом случае при вычислении Р, W и я принимается, что = 1, = = SjUi, г/i = x-i, J = ai (Xi - s); во втором случае = 1,

hi = 1, J = -1, г/i =-jr . Множители при суммах различаются только наличием или отсутствием величины F, так как при бесконечно удаленной плоскости предмета

Наконец, если система телескопическая и = О, то поперечные аберрации не могут быть вычислены; вместо них необходимо

вводить угловые аберрации [bgp

, равные пределу -

при Spоо . Обозначая увеличение телескопической

системы буквой у, на основании формул (II 1.8) имеем 2 Го 1 т,{т\ + мХ)

F" F"

и т. д. Эти формулы отличаются от (VI.4) только тем, что справа все множители сумм содержат лишнюю степень F в знаменателе;

F в этом случае обозначает фокусное расстояние той части системы, которая остается по исключении окуляра. При определении величин Р, W я л за единицу углов а берется угол в среде, отделяющей окуляр от остальной части телескопической системы.

Две хроматические аберрации первого порядка для бесконечно тонких систем могут быть представлены следующими формулами [они приведены в гл. III под номерами (III.11) и (III.14) 1:

хроматическая аберрация положения 6s

a;6s; = S h]OiCi; хроматическая аберрация увеличений Lp [

те Ci = 6 - число линз компонента i; -

(VI.5)

(VI.5*)

относитель-

ная сила линзы t, т. е. отношение оптической силы линзы t к оптической силе Ф(- всего компонента i.

Для телескопических систем первая из этих аберраций должна быть оценена в угловой мере; обозначим через I8g Ij предел

6s„a„ , ,

. Тогда, благодаря соотношению s а = Нр,

отношения -

"р

где тр - высота пересечения луча с плоскостью выходного зрачка.

Для второй аберрации отношение --- при переходе s

к бесконечности не теряет смысла и формула (VI.5*) остается в силе.

Нужно помнить, что t/i =-уг, /?! = 1. Оптические силы

определяются из условия, что 2]<Ф< = 1. причем суммирование распространяется на все компоненты за исключением окуляра. Предположим, что на основании тех условий, которым должны удовлетворять оптические свойства (увеличение, апертура, поле зрения) и габариты оптической системы, получены все фокусные расстояния отдельных линз, расстояния между ними, положение предмета и входного зрачка относительно системы.

Рассчитываем по любому изложенному в гл. II способу ход двух вспомогательных лучей. Первый из них проходит через точку предмета на оси подуглом к ней а, определяемым из условия, что Ор или в случае телескопической системы равняется единице. Второй луч проходит через центр входного зрачка под 22* 339

углом р, = 1 в общем случае ив случае, когда = оо. Если

tti =0, то удобно приводить все отрезки к фокусному расстоянию F = I. Далее вычисляем последовательно все углы а. и а. до и после преломления у компонента с номером /, все высоты hi и аналогично углы р,- и Р; и высоты у,- для второго вспомогательного луча (примеры см. в дальнейших главах).

Для расчета хода луча служат следующие формулы, применяемые последовательно ко всем компонентам:

ai-a, = /1,Фь Р,-р£ = г/,Ф.-;

hi+i hi- di iiai] Ui+i = tJi - di ,-+iP,,

где Ф( - оптическая сила компонента i; d;, - расстояние между компонентами с номерами t и t + 1.

Зная величины h, у, а, можно составить выражения всех сумм Si, . . ., Sy по формулам гл. И, а также и двух хроматических сумм Sf и Su-

(VI.7)

Выбор аберраций, подлежащих исправлению

При расчете оптических систем одной из наиболее ответственных задач является выбор тех аберраций, которые подлежат исправлению. Казалось бы, естественно стремиться устранить все пять аберраций третьего порядка монохроматического луча и две главные хроматические аберрации, т. е. составить семь выражений аберраций и приравнять их нулю; на самом деле такой способ решения задачи во многих случаях не может быть применен. Некоторые аберрации третьего порядка не поддаются исправлению простыми средствами, т. е. с малым количеством линз и с нормальными сортами оптических стекол. Применения более сложных систем обычно избегают, так как это усложняет и значительно удорожает изготовление прибора и часто приводит к некоторым ухудшениям, как, например, к большей чувствительности прибора к внешним воздействиям и толчкам, легко расстраивающим сборку многочисленных деталей; с другой стороны, применение особых сортов стекла, необходимых для устранения аберраций, но мало устойчивых, приводит к иорче линз, к уменьшению прозрачности и т. д.

Вопрос о числе подлежащих исправлению аберраций связан с назначением прибора, с его относительным отверстием, с требуемым качеством изображения. Если оптическая система должна обладать незначительным углом поля зрения (например, объектив астрономической трубы с большим увеличением), то необходимо обратить внимание на исправление сферической аберрации и хроматической аберрации положения. Для .объектива зрительной трубы средних увеличений нужно исправить кому или хотя бы

компенсировать ее остальной частью системы (например, оборачивающей системой и окуляром).

Если оптическая система обладает малой апертурой, но значительным углом поля (например, очковые линзы, широкоугольные фотографические объективы типа «Гипергон»), то главное внимание уделяется исправлению астигматизма, а в фотографических объективах исправляются также кривизна поля и дисторсия.

Объективы спектральных систем в ряде случаев могут не быть исправленными в отношении хроматических аберраций и кривизны поля, так как поверхность изображения щели может и не быть плоской. Исправление дисторсии также необязательно, поскольку измерение положения спектральных линий производится обычно сравнением двух спектров, образованных той же оптической системой. Исправление астигматизма обязательно только тогда, когда прибор должен давать резкое изображение каждой точки щели, что не всегда необходимо.

Перечисленных примеров достаточно, чтобы показать, насколько разнообразны могут быть условия, которым должна удовлетворить оптическая система в зависимости от ее назначения.

Помимо требований, предъявляемых к системе в отношении аберраций третьего порядка, может быть и ряд других (например, к размерам, весу, числу линз и т. д.), приводящих к необходимости идти на компромисс или даже на отказ от слишком жестких требований. В этом случае приходится идти на частичное удовлетворение аберрационных требований, т. е. на приравнивание коэффициентов не нулю, а некоторым величинам, более или менее отклоняющимся от нуля.

Можно привести и другие соображения, относящиеся к вопросу о выборе подлежащих исправлению аберраций. Неоднократно делались попытки исправления астигматизма в объективах малой толщины. Естественно, все эти попытки терпели неудачу, поскольку коэффициент астигматизма в бесконечно тонких объективах в наиболее распространенном случае, когда входной зрачок совпадает с оправой объектива, равен постоянной величине, отличной от нуля, независимо от конструктивных элементов Это обстоятельство стало известным лишь после того, как формулы Зейделя научились применять в простых частных случаях.

Таким образом, бесполезно требовать от достаточно тонкого объектива, чтобы его астигматизм был сколько-нибудь заметно уменьшен; то же относится и к пецвалевой кривизне, так как параметр я всегда близок к 0,7.

Остановимся более подробно на перечисленных и на некоторых других трудностях.

К трудно исправляемым аберрациям третьего порядка относятся: кривизна поля, в некоторых случаях астигматизм и дисторсия; особенно трудно устранима хроматическая аберрация второго порядка (вторичный спектр).

Исправление кривизны изображения. Эта аберрация определяется суммой Зейделя Siy, имеющей особенно простой вид

Siv = S Ф;я,.

Так как величины Ф; обычно бывают заданными, то для исправления кривизны можно использовать только величины Я;. Уже ранее было указано, что эти величины практически постоянны и не выходят из пределов 0,6-0,8. Рассмотрим более подробно причины постоянства величины я, от которой зависят многие свойства аберраций оптических систем. В случае однолинзовых компонентов или в эквивалентном случае, когда все стекла компонента имеют один и тот же средний показатель преломления п,

величина я для данного компонента равна просто Так как

на практике значение показателя преломления остается в пределах 1,50-1,65, то я не выходит из границ, определяемых числами 0,61-0,66.

В наиболее часто встречающемся случае двухлинзовых компонентов параметр я может быть представлен формулой

(VI.8)

я=.-

где tti и «2 - показатели преломления первой и второй линз компонента. Так как относительные оптические силы ф1 и фа связаны соотнощением Ф1 + фа = 1, то выражение для я может еще быть написано в следующем виде:

(VI.9)

или при исключении ф:

я = -

п., - п

V, - V.,

i(l + Cv.a).

(VI. 10)

Множитель

---) не превышает 0,05; только очень боль-

. «1 Ч .

шие значения ф1, не менее 10, могут сколько-нибудь значительно повлиять на численную величину я, но такие необычные значения ф1 привели бы к очень большим кривизнам поверхностей компонента, что, в свою очередь, повлекло бы за собой малые поперечные размеры компонента, т. е. малое относительное отверстие.

Устранению кривизны мешает еще одно обстоятельство, обнаружившееся в двухлинзовых склеенных компонентах. В большинстве случаев устранение кривизны должно быть выполнено одновременно с уничтожением сферической и хроматической

аберраций, которое приводит к тому, что произведение ---

всегда положительно. Требование уничтожения сферической абер-

рации приводит также к тому, что величина показателя преломления отрицательной линзы должна быть больше, чем у положительной. Если ф1>0, П2>П1 и тогда ф!---) > 0;

если ф1 <0, то «2 <«1 и произведение ф!-----опять

положительно. Поэтому в двухлинзовых склеенных компонентах, исправленных в отношении сферической и хроматической аберраций, я всегда больше чем 0,65 и обычно лежит в пределах 0,68-0,72. Для компонентов из трех и большего количества линз аналогичные рассуждения приводят к тем же выводам. В фотографических объективах встречаются компоненты, у которых я не превышает 0,3 (половинки анастигматов типа «Дагор» и им подобные компоненты), но это достигается тем, что оптические силы у отдельных линз, входящих в состав этих половинок, достигают громадных величин порядка 10. Эти половинки можно употреблять в качестве фотообъективов с относительным отверстием не больше 1 : 12-1 : 20, что совершенно недостаточно для обычных телескопических систем.

В дальнейшем будем предполагать, что я постоянно и равно 0,70 в склеенных системах и 0,65 в простых линзах.

Условие, что 5jv равно нулю, можно написать так:

1]ФгЯ; = 0 (VI. И)

или, считая я постоянным.

Цф.о.

(VI. 12)

Нетрудно показать, что в телескопических системах из двух компонентов условие (VI. 12) не может быть выполнено. Условие, что система из двух бесконечно тонких компонентов с оптическими силами Ф и Фз телескопическая, т. е. имеет бесконечно большое фокусное расстояние, может быть написано в виде

= Ф1+Ф2-Ф1Ф2 = 0,

(VI. 13)

где F - фокусное расстояние системы. Но условие Пецваля при я постоянном дает

ф, + ф, = 0. (VI. 14)

Из уравнений (VI. 12) и (VI. 13) получаем сФФз = О, что невозможно, так как ни одна из трех величин не может быть приравненной нулю без нарушения свойств телескопичности.

Покажем, что и в системах с положительным фокусным расстоянием, состоящих из двух положительных компонентов, условие отсутствия кривизны не может быть выполнено. Пусть Ф - оптическая сила системы. Тогда уравнение масштаба дает