Главная -> Книги

(0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20) (21) (22) (23) (24) (25) (26) (27) (28) (29) (30) (31) (32) (33) (34) (35) (36) (37) (38) (39) (40) (41) (42) (43) (44) (45) (46) (47) (48) (49) (50) (51) (52) (53) (54) (55) (56) (57) (58) (59) (60) (61) (62) (63) ( 64 ) (65) (66) (67) (68) (64)

третьего порядка. Когда предмет расположен на бесконечности, имеем

As = -

2 / (s> -Sc)o = /C.

Если при этом зрачок совпадает с бесконечно тонким компонентом.

(VII.21) (VII.22)

Подставляя в (УП.21), (УП.22) и (УП.23) / = 100, т = 25, получаем As = -3,13Р; {sf - Sc)o = ЮО С; г) = 0,03131Г; следовательно, ki = -3,13; k., = 0; = 0,0313; К = ЮО. Результаты расчета на машине «Урал-2» представлены в табл. VI 1.1. Нетрудно видеть, что решение, соответствующее первому корню, является лучшим.

Табли ца VII. 1

Решение, соответствующее первому корню

rj = 74,05 /-2 = -59,03 Гз = -5814,98 г, = 116,15 г, = -488,45

di= 14,5 2 = 5,0 da = 0,1 d4 = 8,05

от = 25

m = 25 ]/

As = -0,009 s - Sc =0,194 »,=0

As = -0,238 sp - SQ = -0,00r r\ = 0,07%

Решение, соответствующее второму корню

=-159,95 Гз = -30,51 Гз = -54,08 Г4 = 45,92 Г5 = 71,97

dl = 16,92 d, = 5,0 da = 0,1 = 8,63

от = 25

от =.25]/-

As = -0,007 &p - S(- = 0,755 11 = -0,030/i

As = -2,58 - sc = 0 ri = 0,35%

3. УНИВЕРСАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО РАСЧЕТА

Общие соображения

Существующие методы автоматического расчета являются по сути дела развитием традиционного метода проб. Напомним сущность этого метода. В некоторую исходную оптическую систему, заданную численными значениями конструктивных параметров, последовательно вносятся некоторые изменения, в результате чего либо находят значения параметров, при которых система отвечает поставленным требованиям, либо устанавливают, что данный тип оптической системы непригоден для решения задачи.

Изменения, конструктивных параметров вносятся в оптическую систему на основании изучения таблицы влияния изменений параметров на аберрации и другие величины, характеризующие свойства оптической системы. При ручном неавтоматическом выполнении работы следят за некоторым по возможности минимальным количеством лучей, ход которых определяет аберрации системы. Так, например, при расчете систем с небольшими и средними значениями числовых апертур бывает достаточно для определения сферической аберрации выполнить расчет двух лучей для осевой точки предмета. Один из этих лучей на выходе из системы образует с осью угол, равный апертурному углу, а другой луч - угол, равный примерно 0,7 от апертурного угла. При этом стремятся к тому, чтобы аберрации в выбранных точках поля зрения и для выбранных лучей не превосходили определенных величин.

Обычно предполагается, что между изменениями параметров и изменениями аберраций существует линейная связь (хотя бы при небольших изменениях параметров). В действительности, как известно, эта зависимость далеко не линейная, причем нелинейность проявляется тем сильнее, чем выше порядок аберраций. Поэтому в процессе расчета конструктор вынужден вносить, как правило, незначительные изменения параметров и улучшать исходную систему постепенно, периодически пересчитывая таблицу влияния изменений параметров на аберрации.

Универсальные методы автоматического расчета оптических систем на электронных вычислительных машинах могут быть разбиты на две группы:

1. Методы, в которых, как и при обычном выполнении расчетов, система характеризуется несколькими величинами, причем задача считается решенной, когда все величины получат заданные значения с заданными допусками.

2. Методы, в которых для упрощения решения задачи система характеризуется одной функцией, имеющей, как правило, следующий вид:

/=А

F=Y a(Ф-Ф;) (VII.24)

где F - оценочная функция; а/ - некоторые весовые коэффициенты; Ф/ - значения некоторых величин, характеризующих оптическую систему, в частности значения ее аберраций; Ф/ - заданные значения тех же функций.

Задача сводится к нахождению конструктивных параметров системы, при которых функция F имеет минимальное значение. Введение в практику расчета оценочной функции, характеризующей в некоторой мере качество изображения, является удобным вспомогательным приемом, упрощающим вычисления и позволяющим оперировать одной единственной величиной.



Рассмотрим задачу расчета оптической систек№1 с помощью вычислительной машины в общем виде. Пусть некоторая исходная оптическая система обладает N параметрами. В качестве параметров примем радиусы оптических поверхностей /•(-, расстояния между вершинами поверхностей di и оптические постоянные стекол. Часть параметров, которые можно назвать коррекционными, будет автоматически изменяться в процессе расчета. Пусть количество коррекционных параметров равно t. Какие параметры будут использоваться в качестве коррекционных - решает конструктор, выдающий задание на машину.

Оптическая система характеризуется к функциями Ф, Фа, . • ., Фк. В качестве функций могут служить аберрации системы, найденные с помощью расчета хода лучей, фокусное расстояние, положение изображения относительно последней поверхности системы и т. п. Какие именно функции будут вычисляться при расчете конкретной системы, также решает конструктор. Задача сводится к отысканию таких значений коррекционных параметров, при которых либо все рассматриваемые функции будут иметь заданные значения с заданными допусками, либо оценочная функция (Vn.24) будет иметь минимальное значение. Методы, применяемые при решении, зависят от формы постановки задачи. Если предполагается, что все функции принципиально могут иметь заданные значения, то одновременно будет выполнено и второе требование, т. е. получение минимума оценочной функции. В этом случае оценочная функция обратится в нуль. Если же при постановке задачи заранее известно, что все функции одновременно принципиально не могут иметь заданных значений, то задача решается методами миниминизации оценочной функции. Очевидно, что для выполнения к условий в общем случае необходимо располагать не менее чем к параметрами. Поэтому, если количество коррекционных параметров равно количеству условий или превышает его, то можно предполагать, что все функции могут получить заданные значения. В случае, когда количество функций превышает количествопараметров, заведомо можно утверждать, что все функции одновременно не могут иметь заданные значения и использование оценочной функции при этом является необходимым. Отсюда вытекает, что соотношение между количеством коррекционных параметров и количеством функций предопределяет использование тех или иных методов автоматического расчета.

Аберрации оптической системы могут быть представлены как функции координат точек пересечения лучей с плоскостью предмета 1 и с плоскостью входного зрачка ти М. Поэтому при расчете оптической системы важно установить необходимое и достаточное число лучей, а также координаты их пересечения с указанными плоскостями с тем, чтобы в пределах заданного поля зрения и числовой апертуры аберрации системы не превосходили заданных величин.

В случае монотонных зависимостей между аберрациями и координатами точек I, т и М наибольшие значения аберраций будут соответствовать предельным значениям апертуры и угла поля зрения. В более сложных случаях количество лучей, а также их координаты определяются количеством и положением точек перегиба кривых, выражающих зависимость между аберрациями и координатами пересечения лучей с плоскостями предмета и входного зрачка.

В свою очередь, количество точек перегиба на некоторой кривой не может превосходить величины i-1, где i - количество членов в разложении данной аберрации в ряд по степеням одной из координат I, т а М. Величины i на первой стадии расчета оптической системы, строго говоря, неизвестны. Однако на основании имеющегося опыта почти всегда можно сделать правильное предположение относительно величин i и ориентировочно задать количество лучей и соответствующие координаты I, т и М, для которых следует производить определение аберраций.

Количество коррекционных параметров в оптической системе в основном определяется ее конструкцией, т. е. степенью ее сложности. Количество корригируемых аберраций (функций) устанавливается оптиком-конструктором. Если при выборе количества функций конструктор исходит из естественного предположения, что для устранения каждой аберрации необходимо иметь по крайней мере один коррекционный параметр, то количество функций не должно превышать количество параметров. В этом случае, очевидно, аберрации для некоторых точек поля зрения и некоторых значений числовых апертур остаются в процессе автоматического расчета вне контроля.

Средством воздействия на эти неконтролируемые аберрации может служить перераспределение аберраций, т. е. изменение Заданных значений контролируемых аберраций с целью получения эптимального качества изображения. Оптик-конструктор, облагающий достаточным опытом, без особого труда получает таким образом систему с наилучшим качеством изображения. Однако Цля достижения цели процесс доводки иногда приходится повторять несколько раз, изменяя задаваемые значения контролируемых аберраций.

1 Введение в практику автоматических расчетов оценочной функ-ри вида (Vn.24) или какого-либо другого вида отражает попытки авиться от необходимости многократного повторения автома-рческих расчетов в процессе доводки системы. При использовании кепочной функции количество составляющих функций Ф,- не рвисит от количества коррекционных параметров и может быть рлбрано столь большим, что значения неконтролируемых аберраций заведомо будут лежать в пределах, не превышающих начения контролируемых аберраций.



Ilppi использовании оценочной функции предполагается, что ее минимум соответствует оптимальному коррекционному состоянию системы. К сожалению, до настоящего времени не найдено выражение для оценочной функции, удовлетворяющее этому условию. Поэтому введение в практику расчетов оценочной функции не может быть оправдано с оптической точки зрения. Однако при этом с математической точки зрения задача значительно упрощается, так как понижается в конечном счете порядок уравнения. Действительно, решение системы из к нелинейных уравнений, каждое из которых имеет порядок s, равносильно решению одного уравнения с одним неизвестным, но имеющего порядок ks. Причем составление такого уравнения в большинстве случаев практически невыполнимо. При введении оценочной функции вида (Vn.24) задача упрощается и сводится к отысканию минимума функции, которая имеет порядок не выше 2s.

При сравнении различных методов автоматического расчета рационально использовать два следующих критерия:

1. Количество математических операций, необходимых для решения определенной задачи. Поскольку подсчет операций обычно затруднен из-за большого их количества, то сравнение удобнее вести по машинному времени, затраченному на машинах одного и того же типа при решении одной и той же задачи различными методами.

2. Зависимость времени расчета от начального приближения, т. е. от значений функций в исходной оптической системе. В этом отношении некоторые методы дают устойчивые результаты, мало зависящие от параметров начальной точки. В то же время при использовании других методов скорость расчета в значительной степени зависит от значений функций в исходной системе.

Рассмотрим детально ряд методов автоматического расчета оптических систем, нашедших практическое применение.

Метод Ньютона

Пусть оптическая система обладает к коррекционными параметрами pi, р.;, . . ., Pi, . . ., Рк- Численные значения коррек-ционных параметров в исходной оптической системе суть

л(0)

,(0)

РГ, • •, рГ, . , рГ*. Требуется найти такие значения коррек-ционных параметров, при которых к функций этих параметров Фх, Фз, • • ., Ф/, • . ., Фк, определяемых с помощью заданного алгоритма, будут иметь значения, заключенные внутри интервалов ©1 ± 6Ф1; Ф2± бФ; . . ., Ф- ± бФу; . . .; Ф,, ± бФ.. Отметим, что рассматривается случай, когда количество коррекцион-ных параметров равно количеству функций.

Решить поставленную задачу можно с использованием известного метода Ньютона для решения систем нелинейных уравнений. Приращения функций Фу могут быть представлены в виде разло-

жений в ряды Тейлора по степеням приращений р,-. Ограничиваясь в каждом ряду первым членом разложения, можно написать

ф ф(0).2i.д.

(=--1

(VII,25)

ф(0) ф1о) ф(оУ (V "-УЩе значения функций; 4Ji , 4J2 , . . ., Ф/ , . . ., Ф,, -значения функций в исходной оптической системе; Ар,- = р,- - р<."\

Подставив в (УП.25) вместо текущи значений функций заданные значения, т. е. Ф = Ф, ф., = ф., . . Ф« = Ф. можно рассматривать (УП.25) как систему к линейных уравнений с к неизвестными. Обозначим неизвестные, удовлетворяющие системе линейных уравнений, через Ар!\ Ар" А?)"*

Тогда > "

I - л.

(•=1

-фГ;

Ар!-" = Фз

,(0).

дФк

АрГ-Ф.-Ф<

(VII.26)



(0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20) (21) (22) (23) (24) (25) (26) (27) (28) (29) (30) (31) (32) (33) (34) (35) (36) (37) (38) (39) (40) (41) (42) (43) (44) (45) (46) (47) (48) (49) (50) (51) (52) (53) (54) (55) (56) (57) (58) (59) (60) (61) (62) (63) ( 64 ) (65) (66) (67) (68)