Главная -> Книги

(0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20) (21) (22) (23) (24) (25) (26) (27) (28) (29) (30) (31) (32) (33) (34) (35) (36) (37) (38) (39) (40) (41) (42) (43) (44) (45) (46) (47) (48) (49) (50) (51) (52) (53) (54) (55) (56) (57) (58) (59) (60) (61) (62) (63) (64) (65) (66) ( 67 ) (68) (67)

Обозначим

(VI 1.44)

Фу-Ф).-

где Ф~ - значение функции Фу перед началом выполнения итерационного шага с порядковым номером s; Ф}** - значение функции Фу после выполнения итерационного шага с порядковым номером

Нетрудно видеть, что если lim Ф)" = Фу пр, то lim = 0.

S-»oo S->oo

Найдем предел g/* в том случае, когда решение может быть найдено, т. е. тогда, когда lim Ф = Фу. В этом случае lira (Ф)* -

- Ф/) = О, т. е. правые части в системе линейных уравнений (VII.26) стремятся к нулю и, следовательно, приращения коррекционных параметров АрР также стремятся к нулю. Зависимости между изменениями функций и изменениями параметров в пределе становятся линейными, и поэтому величина стремится к единице. Отсюда следует, что lira (Ф}" - Ф)~*) = Фу - Ф)",

S->oo

а lim l] = 1.

S->oo

Таким образом, проследив за изменением величины у для какой-либо одной функции в течение нескольких итерационных шагов, можно установить, удастся ли получить заданные значения функций. Если величина ?у непрерывно убывает, то получить заданные значения функций невозможно. Процесс автоматического расчета следует прекратить при выполнении следующего условия для всех функций:

(VI 1.45)

где е - некоторая малая величина. В программах, используемых на практике, обычно принято в = 0,01.

Опыт использования программ автоматического расчета оптических систем в области аберраций третьего порядка показал, что в большинстве случаев точность двучленных рядов (VII.33) оказывается достаточной. Если же в качестве функций Ф/ рассматриваются значения аберраций, найденные путем расчета хода лучей, то точность этих рядов зачастую неудовлетворительна. Для повышения точности экстраполяции разработан специальный прием, сущность которого будет изложена ниже.

Перейдем к рассмотрению случая, когда количество коррекционных параметров t превышает количество функций к. Такое соотношение часто встречается при автоматическом расчете оптических систем в области аберраций третьего порядка, поскольку в системах со значительными числовыми апертурами или полями

зрения общее количество параметров намного превышает количества коэффициентов аберраций третьего порядка, т. е. семь. Наличие как бы избыточных параметров можно использовать для ускорения расчета путем уменьшения количества циклов итераций. Сущность рассматриваемого метода состоит в том, что избыточное количество коррекционных параметров по сравнению с количеством функций используется для получения минимальных значений приращений коррекционных параметров. Если для всех функций Фу одновременно имеет место соотношение

«

ЭФ,-

(VI 1.46)

то функции фу практически линейно зависят от г) и задача решается за небольшое количество итерационных шагов.

Воспользуемся наличием избыточных параметров с целью

максимального уменьшения значений вторых производных

Э2ф,-

Сопоставим между собой два разложения в ряд приращения функции АФу:

1 = 1

1=1 i=l

(VII.47)

На основании теоремы о единственности разложения в ряд из (VI 1.47) следует, что

- Zj 1л dpi dpi

Ар,;

г=1 1=1

Запишем (VI 1.49) в виде

1=1 i

(VII.48)

(VI 1.49)

(VII.50)

где 6/ представляет собой сумму членов, содержащих- смешанные производные второго порядка. Учет величин 6/ требует значительного увеличения объема вычислений, связанного с нахожде-

нием производных вида вывода, допустим, что

Э2Ф/

ЭФу dpi dpi

. Несколько нарушая строгость

(VII.51)



где b -- некоторый положительный коэффициент. Тогда условие (VI 1.46) на основании (VI 1.48) и (VI 1.51) можно преобразовать к виду

Ф2-Ф2°М >Ь

(VI 1.52)

Заменим абсолютные значения сумм, находящихся в правых частях неравенств (VI 1.52), суммами абсолютных значений, допуская при этом некоторое ужесточение условий (VI 1.51):

(Vi)-

{Ap,f

-ф(°>

-ф(°)

дФг dpi

iPx)

дФ, dpi

-ф(0)

Ф2 -

-ф(0)

дФк dpi

{РгГ

&Фк

{Ар,Г

ф(0)

ф(0)

- Ф<0)

а-Фз

-ф(0)

а-Ф,с

Ф ф(0)

«Х-

(V11.53)

Выберем из всех множителей, стоящих при (Apl) наибольший и обозначим его через

ф.-ф(.0>

(V1I.54)

Таким же образом выберем наибольшие множители и для остальных переменных:

фу-ф<°>

Тогда, очевидно, при соблюдении неравенства

(VII.56)

будут одновременно удовлетворяться все неравенства системы (VII.53) и, следовательно, все неравенства системы (VII.52). Таким образом, условие (VI 1.46) приводится к неравенству (VII.56). Условие (VII.56) можно трактовать следующим образом: количество итерационных шагов сокращается, если левая часть неравенства (VI 1.56) минимальна. Поэтому для случая к < t система уравнений дополняется требованием минимизации

суммы S аг„б(Ар,-)-

Воспользуемся методом Лагранжа для получения минимума этой суммы. Образуем функцию

i=t I i=t \

р = 2 «б(Ар.)+S " + i=i \

+ + к

Ар,-Ф,с + Фк

(VI 1.57)

Для соблюдения поставленного условия необходимо, чтобы

дР dF OF

dpi apa

(VII.58)

Дифференцируя f поочередно по pi, p, . . ., pt я приравнивая результаты нулю в соответствии с (VI 1.58), получаем систему уравнений, дополняющую систему (VII.26):

2а, „,Ар,+ 2/ = 0 2а.,«бАра+ 2?.,-~ = 0;

(VI 1.59)



Таким образом, в случае, когда к < t, система линейных уравнений приобретает вид

г=1 i=t

dpi dpi

др,. = Ф2-ФГ;

(VII.60)

Далее используется методика, разработанная для случая к = t. Использование избыточных параметров не только позволяет ускорить процесс вычислений, но и дает большую вероятность получения решения. Рассмотрим определитель системы уравнении (VH.bO):

dФy 1

dФ,

дФ 1

dpt \

dp-i

0...

0 аз„бО-

• • 0

0...

о о

0...

бФа .

dPi дФ

dPi дФ

dPi dФк

дФ dpt

ЭФа dpt

dФк dpt

(VII.61)

Нетрудно видеть, что определитель (УИ.61) не может обратиться в нуль из-за пропорциональности или линейной комбинации столбцов матрицы, помеченной штриховыми линиями. Действительно, столбцы определителя (УП.61) с первого по /-Й, например с порядковыми номерами / и /тг, могут образовать линейную комбинацию только в том случае, когда соответствующие этим столбцам величины a„б и йщнв равны нулю. Последние могут обратиться в нуль только при условии, что

д-Ф dp]

dФ dp]

ЗЩу аФг dK

(VII.62)

Равенства (УП.62) могут иметь место только тогда, когда параметры с порядковыми номерами / и /п линейно связаны с изменениями всех функций, что практически исключено.

Таким образом, если в матрице производных имеются

столбцы, образующие линейную комбинацию (иными словами, имеются эквивалентные параметры), то рассмотренный метод в отличие от метода Ньютона может дать решение. При наличии взаимно зависимых функций (пропорциональных строк в матрице

этот метод, так же как и метод Ньютона, не дает решения. Вторые производные , входящие в (УП.бО), без особых

трудностей вычисляются методом конечных разностей путем поочередного изменения коррекционных параметров системы на малые величины ±,6pi, ±Ьр2, . ., ±bpi и определения значений функций Ф/.

Обозначим функцию Ф/, вычисленную при значениях пара-

метров pi

значениях параметров pi°\ рг" Тогда получим

pf\ через Ф)

Sp<,

а при - через

dФj dpi

ф(.+) ф(-)

(Vn.63)

dФ Ф)+* + Ф<-) - 2Ф<.°>

(VII.64)

Рассмотрим пример расчета по изложенной методике. Для сопоставления с методом Ньютона выполним расчет фотографического объектива типа триплет (см. стр. 398).



(0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20) (21) (22) (23) (24) (25) (26) (27) (28) (29) (30) (31) (32) (33) (34) (35) (36) (37) (38) (39) (40) (41) (42) (43) (44) (45) (46) (47) (48) (49) (50) (51) (52) (53) (54) (55) (56) (57) (58) (59) (60) (61) (62) (63) (64) (65) (66) ( 67 ) (68)