Главная -> Книги

(0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) ( 7 ) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20) (21) (22) (23) (24) (25) (26) (27) (28) (29) (30) (31) (32) (33) (34) (35) (36) (37) (38) (39) (40) (41) (42) (43) (44) (45) (46) (47) (48) (49) (50) (51) (52) (53) (54) (55) (56) (57) (58) (59) (60) (61) (62) (63) (64) (65) (66) (67) (68) (7)

p-s = /ftg 2rsin = rsin9tg 2rsin=.

= 2rsinf (cosf tg-f-

-sin-

Аналогично

=.2rsin-f cos-l

-S=2rSinf (coS-lg --Sin-]-);

= n ip - s)-~n{p -s) = •>

« tg 4 - n tg - („ -n) tg . (1.76)

Подставляя полученные выражения для n-s и n-s ппроб

SanfcaVf r.L- "P""" квадра?ны.х сГобка можно написать в таком виде:

n sin

.i sin

cos - COS

n Sin

COSCOS-?- cos--y

" sin - \

Умножим и разделим последнее выражение на 2 coscos ~ при"ЕиТаГвид°"""""™- выражение вскобках

; Если оптическая система состоит из нескольких поверхностей, Имеющих общую ось симметрии, разность оптических путей / - /ц, относящаяся ко всей системе, равна сумме разностей, относящихся к каждой поверхности отдельно. Вопрос о волновых аберрациях будет более подробно рассмотрен в гл. X.

6. НЕКОТОРЫЕ Ф0Р1У1УЛЫ ПРЕЛ01У1ЛЕНИЯ

В некоторых случаях могут оказаться полезными следующие соотношения между величинами, определяющими лучи падающий и преломленный при прохождении через сферическую поверхность (формулы приводятся без выводов):

и + и

г - 5 Г - S п COS и

г sin г

п COS и п sin (Г - ()

г ~ S п

г - S

г - S п

п -п и - COS -

- I п cos -

и + i

г sm J

- sec --; (Эрфле)

(1.79)

n H + I

-cos

n COS ), (Кайзер)

s) . i - i u

- sm -s- sec -

- sin " T ; (Конради)

T "2" 1" cos 4-

X (cos - cos - cos 4I cos ~ V

Наконец, помня, что

cos ос cos (5 = i- cos (a - p) + cos (a + P), получаем для / -

n sin / sin Sin

cos cos ~ COS cos 4- cos

(1.77)

, . , . n - n , i - i i 4- i

n sm и - rt sin a = --- n cos -- sec --;

ns sin u - ns sin Ы = /г (n cos i - n cos t). 7. ОТРАЖЕНИЕ ОТ СФЕРИЧЕСКИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ

(1.80) (1.81)

Если в центрированной оптической системе встречается несколько отражающих поверхностей, то расчет хода луча через систему можно выполнить по вышеприведенной схеме для систем йреломляющих поверхностей, но только правило знаков нужно ЯЗменить. В этом случае положительным направлением будем усчитать направление слева направо, как и раньше, но это может И не совпадать с направлением света. Далее нужно принять, что отражающая поверхность с номеррм к разделяет две среды с по-казателями преломления равными по величине, но с противоположными знаками, т. е. нужно принять, что «„+1 = -"к-



Правила знаков для величин s, s, г и h остаются без изменения. Правила знаков для углов и, i яц> можно оставить такими же, но нужно понимать под направлением луча направление слева направо, которое, как сказано, не всегда совпадает с направлением распространения света. Толщине после отражения приписывается знак, противоположный знаку толщины d.

Таким образом, расчет делается по обычным вышеприведенным формулам, в процессе расчета .хода луча при отражении меняют знак у показателя преломления и у толщины, следующей за отражающей поверхностью. Если после первого (и вообще нечетного) отражения следует несколько преломляющих поверхностей, приходится некоторое время (до следующей отражающей поверх-" ности) иметь дело с отрицательными толщинами и показателями преломления.

При этом, однако, отношение п/п на преломляющих поверхностях остается положительным. Для быстрой ориентировки в знаках углов и и i следует* представить себе, что луч во всех средах распространяется слева направо, и в этом предположении определять знаки углов и и /, пользуясь обычными правилами, изложенными в начале главы.

8. ТЕХНИКА ВЫЧИСЛЕНИЙ. ОШИБКИ И ИХ НАХОЖДЕНИЕ .

Расчеты хода лучей, меридиональных и косых, а также опре-,а,еление положения фокусов бесконечно тонких астигматических пучков удобнее всего производить с помощью логарифмических таблиц. Вычисления с помощью арифмометров также получили некоторое распространение, но до сих пор нельзя указать ни на одну схему, которая была бы заметно выгоднее других. При выборе способа вычислений следует в первую очередь руководствоваться соображениями, связанными с эксплуатацией тех или иных пособий - таблиц или счетных машин.

В большинстве случаев достаточную точность дают пятизначные логарифмические таблицы, однако при расчетах длиннофокусных систем (объективы телескопических систем с большим увеличением, астрономические объективы) и систем с большими апертурными углами (объективы микроскопов) лучше пользоваться шестизначными, а иногда и семизначными (при фокусных расстояниях свыше метра) таблицами или применять особые приемы, о которых говорилось выше.

Одним из таких приемов, пригодных для вычислений сферической аберрации, является применение дифференциальных формул Кербера и Рабиновича. Обычно вычисления делаются одновременно двумя вычислителями, сверяющими через определенное число операций полученные результаты. Этот прием не вполне гарантирует от ошибок, и одной из задач конструктора является ведение расчета таким образом, чтобы всякая ошибка была сразу 46

обнаружена и не оказывала влияния на дальнейший ход работы. Грубые ошибки замечаются без труда по значительному расхождению лежду полученным и ожидаелшш результатом. Гораздо труднее отыскание мелких ошибок, встречающихся чаще, чем крупные. Их причина - неправильное интерполирование, неверное сложение и т. д.

Такие ошибки, влияющие на результат расчета достаточно малы, чтобы обратить на себя внимание ведущего работу, могут иметь большое значение для дальнейшего хода вычислений, давая неверный материал, на основе которого делаются неправильные выводы о влиянии изучаемого параметра на качество изображения, образуемого системой, и т. д. Для предупреждения подобных последствий можно рекомендовать не давать ни одного расчета хода луча, не зная наперед хотя бы примерного значения ожидаемых результатов; ввиду этого необходимо тщательно собрать и обработать тот материал, который может помочь такому предсказанию. Такая предварительная подготовка, помимо прямой цели, дает необходимые и важные для дальнейшего ведения расчета сведения о свойствах рассчитываемой или изучаемой системы. В тех случаях, когда отсутствуют какие-либо вспомогательные материалы, необходимо сделать расчеты нескольких добавочных лучей. Имея несколько точек на кривых аберраций, можно судить о правильности отдельных результатов. В дальнейших главах будут даны примеры такой обработки материалов; будет показано, какую ценную помощь могут оказать применение теории аберраций третьего порядка и некоторые сведения об аберрациях высших порядков.

ЛИТЕРАТУРА

1.V о п R о h г М. Die Theorie d. optischen Instrumente. Berlin, Springer, 1904.

2. С z a p s к i S., E p p e n s t e i n O. Grundziige d. Theorie der Optischen Instrumente. Leipzig, Barth, 1924.

3. S m i t h T. National Physical Laboratory, Collected Researches, vol. 18,

1922.

4. Лебедев И. В. Опт. пром., 1938, № 7.

5. Fe d ег D. P. JOSA, vol. 41, 1951.

6. С л 10 с a p e в Г. Г. Геометрическая оптика. М. - Л., АН СССР, 1946.

7. Р а б и и о в и ч Г. Д. -ЖТФ. Т. XVL Выи. 9, 1946.



глава ii

ТЕОРИЯ АБЕРРАЦИЙ ЦЕНТРИРОВАННОЙ ОПТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

\. АБЕРРАЦИИ МОНОХРОМАТИЧЕСКИХ ЛУЧЕЙ Гауссова теория изображения и эйконалы

Гауссова теория изображения оптическими системами является приближением, пригодным только в случаях, когда поперечные размеры оптической системы и размеры объекта очень малы по сравнению с продольными размерами системы или, другими словами, когда поле зрения системы и ее апертура очень малы. В реальных системах законы гауссовой теории теряют смысл. Изображение светящейся точки уже не представляет собой точку; лучи, излученные точкой-объектом и прошедшие через оптическую систему, уже не собираются в одной точке, а образуют в плоскости установки некоторую фигуру рассеяния весьма сложного вида; картина усложняется еще явлениями дифракции, которые будут рассмотрены особо (см. гл. X).

Теория аберраций, наравне с гауссовой теорией изображения, лежит в основе всех методов расчета оптических систем. Явление аберраций для зеркал было известно в глубокой древности, а с XVH в. оно стало известным и для преломляющих систем (Кеплер, Декарт); изучение сферической аберрации было предпринято Ньютоном; ему было известно также и явление астигматизма. Однако, несмотря на ряд блестящих работ Гюйгенса, Р. Смита, Клеро, Эйлера и Лагранжа по геометрической оптике, систематическое изучение аберраций началось только в середине XIX в. (Зей-дель, Эри, Коддинтон и др.); в дальнейшем развитии теории аберраций принимали участие Пецваль, Аббе, Гульстранд, Шварц-шильд, Т. Смит и др. Параллельно с перечисленными исследованиями, основанными в общем на законе преломления Снеллиуса, развивалась (на основе принципов Ферма и Малюса о кратчайшем оптическом пути) теория характеристических функций Гамильтона, из которой возникли эйконалы Брунса и Шварцшильда.

Систематическая и полная теория аберраций оптических систем может быть разработана на основании особой теории соответствия между Двумя совокупностями прямых (лучей); эти соответствия устанавливаются при помощи функций, называемых эйконалами и определяющих свойства изображений. В отличие от теории коллинеарности Аббе, в которой совокупности лучей удовлетворяют 48

трем основным условиям коллинеарности Максвелла, предполагающим заранее полное отсутствие аберраций, в теории эйконала делается единственное и вполне естественное предположение, что каждому лучу в пространстве предмета соответствует луч в пространстве изображения. Это соответствие выражается некоторой зависимостью между координатами лучей; написав эту зависимость по определенному правилу, можно посредством простой математической операции получить все аберрации оптической системы. Кроме того, теория эйконала позволяет установить ряд свойств оптических систем весьма общего характера, которые значительно труднее получить дру-\ гимн методами.

Эйконалы представляют собой функщп! от тех или иных параметров, выражающие оптические расстояния между специальным образом выбранными точками. Напомним, что оптическим путем между двумя точками А н В называется сумма Yi nl произведений показателей преломления п на отрезки /, отсчитываемые вдоль

пути луча, соединяющего точки А и В (рис. И.1).

Эйконалы отличаются друг от друга выбором параметров, определяющих луч, а также точек начала и конца отсчета оптического пути. Для решения задачи о расчете аберраций, особенно если интересует зависимость их от положения предмета и изображения, удобнее всего использовать так называемый угловой эйконал, т. е. оптический путь между точками Р и Р - точками пересечения луча с перпендикулярами к нему, опущенными из точек О и О, в которых плоскости предмета и изображения пересекают оптическую ось системы. В качестве параметров, определяющих луч, возьмем направляющие косинусы р и v падающего и р и v преломленного лучей. Третий косинус X (к) определяется из известных соотношений


k + ii + v"=l; ]

2 2 2

к +1 +V = 1.

(П.1)

Пусть О и О (рис. 11.2)-две сопряженные точки на оси системы в пространстве предметов и в пространстве изображений; RMMR - луч; ОР и ОР - перпендикуляры, опущенные из точек О и О на луч RMMR. Если четыре величины v, ji, v Заданы, то, вообще говоря, луч полностью определен, так как один и только один луч обладает указанными значениями пара-,метров.



(0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) ( 7 ) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20) (21) (22) (23) (24) (25) (26) (27) (28) (29) (30) (31) (32) (33) (34) (35) (36) (37) (38) (39) (40) (41) (42) (43) (44) (45) (46) (47) (48) (49) (50) (51) (52) (53) (54) (55) (56) (57) (58) (59) (60) (61) (62) (63) (64) (65) (66) (67) (68)