Главный член последоЁатель!1ости в этом случае К", где К. = 1, 2, 3, .... /и. Для т - 2.0 an = 4 значение (/ = 722665,91 (точное значение 722668), а « 2 мин.

Если знаки главного члена должны попеременно меняться, вво. дится умножеине его в каждом цикле на -1. Вычисление рядов с бесконечным числом членов ваменяется суммированием конечного числа членов с контролем значений каждого из них. Если они становятся меньше малого числа е, задающего погрешность вычислений, последние оетанавливвют,

• Приведенные выше рекомендации широко используются в программах ычисления специальных функций по их разложению в ряды,

4.5. Вычисление МТГогочленов Лагерра, Лежандра, Лагранжа, Эрмита и Чебышева и их коэффициентов

Широко распространенные в научно-технических расчетах дифференциальные уравнения второго порядка часто имеют решения в виде ортогональных многочленов Лагерра, Лежандра, Эрмита и Чебышева (1-3]. В [6] описан пакет программ вычисления их ко-бффнциентов иа микрокалькуляторе Электроника БЗ-21. Приведенные инже программы получены переводом *тнх программ. Во всех программах степень многочлена п вводится в регистр X (после нажатия клавиш F, АВТ и В/О). Каждое нажатие клавиши С/П ведает к выдаче очередного коэффициента многочлена до тех пор, пока не высветится цифра О, указывающая на конец вычислений.

Программа 4.16. Вычисление коэффициентов многочлена Лагерра.

па О ПЗ ИП2 Ря X Fcos П8 С/П ИПЗ П9 1 + ГО ИП9 ИП2 - Fx ИПЗ X ИПЗ /-/ БП 07

Для я = 5, нажимая клавишу С/П до появления цифры О, бу. дем получать коэффициенты многочлена Лагерра

Lb(xJ = - U + 25х* - 200jc + бООлг - 600л; + 120

в виде последовательности чисел -1, 25, -200, 600, -600, +120 в О (конец вычислений). Переключатель Р -Г в положении Р.

Программа 4.17. Вычисление коэффициентов многочлена Лежандра.

П2 1 П6 П8 + ПЗ 2 П7 X 3 - П5 П4 ИП8 X ИПб -г- П8 ИПб 1 + пе ЙП4 2 - Рл;<0 12 ИПЗ С/П ИПЗ 1 П9 1 - ПЗ ИПО X ИПБ X ИП7 ~г ИПб /-/ -т- П8 ИП7 2 + П7 ИПб 2 - П5 БП 27

Для ft = 5 получим коэффициенты многочлена

(л:) = 7,875л:5 g 75.3 1 875,. (4 j у

Программа 4.18. Вычисление коэффициентов многочлена Эрмита.

П2 1 ПЗ П8 + П4 2 П5 ИП8 С/П

ИП4 1 - П9 1 - П4 ИП9 X ИП8

X ИП5 /-/ Ч- П8 ИП5 2 + Пб БП 08

Для ft = 8 получим коэффициенты многочлена

Я8(л:) = - 28х= + 210л:« - 420л;2 + 105.

Программа 4.19. Вычисление коэффициентов многочлена Чебы-шева по формуле

« W - 2 П т\{п-2т)\ "

Для п = 8 = РХ получим округленные коэффициенты многочлена Чебышева 8-й степени:

V V Тц(х)= 128л: - 256jc5 -f 160л: - 32л;2 + 1.

Вычисление значений ортогональных многочленов можно организовать непосредственно по их разложениям в степенные ряды, примеры которых приведены выше. Однако в этом случае для каждого многочлена с заданным п придется составлять свою програм- му. Более рационально воспользоваться известными рекуррентными соотношениями [2].

Программа 4.20. Вычисление значений L„{x) многочлена Лагерра

, , 6»= d"(;c"e-) --jpi-

по рекуррентной формуле (LoW= I; L,{x) = I - х):

Li + i (л;) = -т--I(2i+ l-x)Li(X)-iLi-i (X)] (( = 1,2, ...,n-l).

Ввод: п = РД, X = РХ.

П7 1 XY - П9 1 П8 П6 ИПб ИП8

/-/ X ИПб 2X1+ НП7 - ИП9

П8 X + П6 1 + Пб -г П9 ИПб

ИПД - Fjc>0 08 ИП9 С/П БП 00

Для х = 3 имеем L2(3)=-0,5; /-з(3)=1; /-4(8)= 1,375 (/с я; 25 с).

Программа 4.21. Вычисление значений Рп{х) многочлена Лежандра

PnW-( 1) , ПО рекуррентной формуле (Ро(х)= 1, Pj (дг) = х): Р,+1 (л;) = y-j-y [(21 + 1) xPi (х) - iPi-, (а:)1 (( = 1, 2, .... п - 1). Ввод: п = РД. л = РХ.

Для х = 2 имеем Р2(2)=5,5, Рз(2)= 17, Р4(2) = 55,375. Программа 4.22, Вычисление значений Н„(х) многочлена Эрмита

Я/ \ / 1 чя JC* d (е ) „ (х)= (-1) е--,

по рекуррентной формуле (Яо(л:)= 1, Я(дг)=2л:):

{x) = 2xHi{x) ~2iHi-i (х) (i= !, 2.....«- 1).

П7 2 X П9 1 П8 П6 ИПб 2 X

ИП8 /-/ X ИП7 2 X ИП9 П8 X +

П9 КИПб ИПб ИПД - Рл;>0 07 ИП9 С/П БП 00

Для х = 3 получим Я2(3)=34, Из(3)=180, 4(8)= 876.

Многочлены Чебышева .первого рода Т„{х) = cos (п arccos л:) н второго рода [/„(л) = sin((n + l)arccos )/sin (arccos дг) несложно вычислить непосредственно по приведенным формулам (ввиду простоты их программы не приводятся).

Особый интерес представляет вычисление коэффициентов интерполяционных полиномов Лагранжа, которые применяются для интерполяции функции у(х), заданной рядом ординат уаУя прн абсциссах хо -9- Хп. В качестве нулевого узла можно использовать любой узел, например, при трех узлах и нулевом центральном узле значения функций будут обозначаться: уу = (/(л:-,), уо = у(Хо) а