Главная -> Книги

(0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20) (21) ( 22 ) (23) (24) (25) (26) (27) (28) (29) (30) (31) (32) (33) (34) (35) (36) (37) (38) (39) (40) (41) (42) (43) (44) (45) (46) (47) (48) (49) (50) (51) (52) (53) (54) (55) (56) (57) (58) (59) (60) (61) (62) (63) (64) (65) (66) (67) (68) (69) (70) (71) (72) (73) (22)

i/xi = у(хц). Полином Лагранжа может записываться в двух формах.

Первая форма имеет вид [1]:

у {X) = Ло (X) Уо + А1(х)У: + ...+ An М уп Yj А,п (*) Ут, (4.2)

т==0

где коэффициенты определяются из формулы Ащ {х) =

(а: - х) {х - Xj) ...(х - Х;п-\) - Xm+i) ...(х - Хп)

(.Xm-Xa)(Xm~Xi} ... (х - x-i) (х - x+i) ... {Хщ -х)

Ввиду сложности этого выражения на микрокалькуляторах значения Ат(х) можно вычислять раздельно для полиномов с п 5 при п + 1 ординатах. При нормировке

Х = XQ+ рК

где h - разность абсцисс соседних узлов,

p={x-xo)/h, (4.3);

и будем вычислять значения нормированных коэффициентов Лагранжа Ат(р). Ниже дан пакет программ, позволяющих вычислить Ат{р) для re-fl, равного 3, 4, 5 или б по формула.м, приведенным в [3].

Программа 4.23. Вычисление коэффициентов полинома Лагранжа при трех ординатах у-и Уо, y+i-

л .„ч = ( п«+1 EiElni}

ПД Fx 1 - ИПД X ПС О Пб ПП

27 2 -т- П1 ПП 27 /-/ ПО ПП 27 2 -г- ПА 3 С/П БП 00 кипе ИПС ИПД ИПб - 2 -Ь В/О

Для р = 0,45 = РХ, нажав клавишу С/П, получим цифру 3 (у1:лзапие на 3 ординаты). Коэффициенты полинома заносятся в регистры Л-1 = -0,12375- Р1, Ао = 0,7975-)-Р0, Л+, = 0,32625-.-Р/\.

Программа 4.24. Вычисление коэффициентов полинома Лагранжа при iieTbipex ординатах у-ь Уа, y+i и у-2.

Ят{Р) - ( Ч (1 + „j) (2 - ш)! (р - т) "

ПД Fx 1 - ИПД X ИПД 2 - X ПС О Пб ПП 39 6 /-/ - П1 ПП 39 2 -4- ПО ПП 39 2 /-/ ч- ПА

ПП 39 6 ПВ 4 С/П БП 00 КИП6

ИПС ИПД ИПб - 2 + В/О



Длг р = 0,15, нажав клавишу С/П, получим цифру 4 (число ординат). Коэффициенты полинома заносятся в регистры: Л 1 =: =-0,0393125->-Р1, Ло = 0,9041875 РО, Л+, = 0,1595625РА и Л+2 = -0,0244375-.-РВ.

Программа 4.25, Вычисление коэффициентов полинома Лагрси-жа при пяти ординатах yz, У-i, Уо, У+\ и (/+2:

А Ы ( П+ P(P-)(P-4) Лт{Р)-{ 1} (2 + т)1{2-ту.(р-т)-

(4.4)

ПД Fjc2 ПС 1 - ИПС 4-Х ИПД

X ПС О П6 ПП 47 2 4 П2

ПП 47 6 /-/ П1 ПП 47 4 -

ПО ПП 47 6 /-/ ПА ПП 47 2

4 Ч- ПВ 5 С/П БП 00 КИП6 ИПС ИПД

ИПб - 3 + В/О

Для р = 0,3, нажав клавишу С/П, получим цифру 5 (число ординат). Коэффициенты полинома заносятся в регистры: Л 2 = 0.0193375-+Р2, Л-1 =-0,13685-Р1, Ло = 0,889525 РО,-Л+1 = 0,25415 РА и Л+2 = -0,0261625РВ.

Программа 4.26. Вычисление коэффициентов полинома Лагранжа при шести ординатах у-а, у-и уо, у+и у+а и 2/+3:

(р) =

(-I)"

f3 р{р

- 1)(р2-4)(р-

(2 + т)\ (3

-«i)l(p-

ш) •

КИП6

Для р = 1,45 = РХ, нажав клавишу С/П, получим цифру 6 ((число ординат). Коэффициенты полинома заносятся в регистры: Л 2 =-0,011356897-Р2, Л , = 0,079961829Р1, Ло = -0,27021584 РО, Л+, = 0,8706955 РА, Л+2 = 0,356 i 9361 г* РВ и Л+8 = -0,025278255 PC.

Во второй форме записи интерполяционного полинома Лагранжа

у (X) = в, (у) + fi, (у) (X - X,) + В, (у) (X - X,) (X - X,) + ...

... +Bn(y)(x-Xo)(x-x,)...{x-Xn-i) (4.5)

коэффициенты Во(у)~-Вп{у), или сокращенно Во Ч-являются функциями ординат уо -н i/л [1]. Алгоритм их вычисления по схеме



ЭПткепа поясняется табл. 4.1. При известных Ва-В„ вычисление у(х) для любого X можно провести по схеме Горнера.

Таблица 4.1

Jti-»P1

JCl-л» - В,-»РВ

</2 -

(Тг-171 JCj -Л,

= r!=Bj-»PG

</1 -У»

I?! -I7l

г1-г2

JCj -

= 9»->РД

Лз -JCl = г.-»РД

-*3 -

Программа 4.27. Вычисление коэффициентов Во, В, и Вг по вводимым в регистр X значениям Ха, Уо, Хи г/,, х и j/j.

ПО С/П ПА С/П П1 С/П ПВ С/П П2 С/П

ПС ИПВ ИПА - ИП1 ИПО - 4- ПВ ИПС

ИПА - ИПЗ ИПО - -h ИПВ - ИПЗ ИП1

- -т- пс о С/П БП 00

Для Хо = 1,3, г/о = 0,934, д;, = 1,4, = 0,9523, X2 = 1,5 и (/2 =1 = 0,9661 получим цифру О (окончание вычислений). Коэффициенты полинома заносятся в регистры: Во-= 0,934-> РА, Bi = 0,183->PB и В2 = -0,225-> PC.

Программа 4.28. Вычисление коэффициентов Во, В, Ва и В» Ввод: Хо Ч-= РО + РЗ, (/о Ч-i/з = РА +РД; результат Bo-f-Bj- гРА ~ РД.

ИПВ ИПА - ИП1 ИПО - ПВ ИПС ИПА

- ИП2 ИПО - -4- ИПВ - ИПЗ ИП1 --Н ПС ИПД ИПА - ИПЗ ИПО - ~ ИПВ

ИПЗ ИП1 - Ч- ИПС - ИПЗ ИПЗ - Ч- ПД о С/П

Для Хо = 1,3, XI = 1,4, Х2 = 1,5, Хз = 1,6, Уо = 0,934, yi =1 •= 0,9523, yi = 0,9661 я уз = 0,9763 получим, нажав клавишу С/П, цифру О (указывает па конец счета). Коэффициенты полинома sa-i носятся в регистры: Во = 0,934-> РА, В, = 0,183-РВ, В,-=i = -0,225 PC и Вз = 0,15 РД.

Программа 4.29. Вычисление коэффициентов Во, В,, В2, Вз и В,. Ввод: Хо Ч- х4 = РО Ч- Р4, г/о = Р9 и i/i Ч- г/4 = РА 4i ЕД; результат Во Р9,. В, Ч- В4 РА ± РД.



(0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20) (21) ( 22 ) (23) (24) (25) (26) (27) (28) (29) (30) (31) (32) (33) (34) (35) (36) (37) (38) (39) (40) (41) (42) (43) (44) (45) (46) (47) (48) (49) (50) (51) (52) (53) (54) (55) (56) (57) (58) (59) (60) (61) (62) (63) (64) (65) (66) (67) (68) (69) (70) (71) (72) (73)