Для Ее = 40 В, и, = 10 В, 5йс 10 В, р = !, 6 = 0.02 !/В, С/со = Хо = 4 В, Сс1 = Xi = 5 В, £/с2 = лг = 6 В получим Ос = = 4,8762113 В при точном значении % = 4,876727 В и времени счета «40 с. Таким образом, уже при однм,цикле интерполяции Ос определено с точностью до 4-х верных знаков, что более чем достаточно для практических расчетов.

Автоматическое уточнение кория при методе обратной интерполяции/экстраполяции можно выполнить различными способами. Так, для данного примера лучшим оказался следующий способ: левая граница интервала изоляции корня берется равной дго = О (при этом F{Uco) = £с), значение Xi = х и xs = Xi + Дх, где Дл:=Д1с= = const (например 1 В).

Программа 5.26. Расчет Ut для схемы рис. 5.2. а методом обратной интерполяции/экстраполяции с автоматическим уточнением корня. Ввод: начальное значение Uc = РВ, Ua = РО, Ее = Р4, е* = Р5, R,S = Р6. р = Р7, S = Р8 и О, = РХ.

П9 Fx ИП8 X ИПО + ИПЭ - П9 ИПВ ПП 57 П1 ИПВ 1 -f ПС ПП 57 П2

ИПВ ИП1 ИП4 - -f- ПД ИПС ИП2 ИП4 -

ИПД - ИП1 ИП2 - -5- ИП1 X ИПД -f ИП4 /-/ X ИПВ XY ПВ - Fx ИПб - Fa- < О 89 ИПВ С/П . БП 00 ИП7 X ИПЭ -h Fe 1 - ИПб X ИП9 X -f

ИП4 XY - В/О

При t/co = 5 В, е2=М0-°, f/j = 10 В и указанных выше других данных F{Uc) получим t/c = 4,8767272 В, при (7з = 6 В Uc = 6,522966 В. прн f/, = 4 В Uc = 13,381808 В, при С/, = 2 В Uc = 30,8 В, Прн повторных вычислениях вводится только значение = РХ н нажимается клавиша С/П. Время вычисления одного значения Uc около 2 мин.

Ускоренную сходимость при сложных уравнениях (5.12) имеет также метод Эйткена - Стеффенсона. При его реализации уравнен ние (5.12) приводится к виду x = fix), вычисляется первое приближение для X = Хо: Xi = f{xo), затем второе; Xz = j{xi). По ним находится уточненное значение корня [2]

X = {хаХ2 - xf)/{Xo - 2х, + х). (5.21)

Оно присваивается хо, после чего процесс повторяется до т&х пор, пока разность {х - хо) не станет равной или меньшей е. В программе следует предусмотреть контроль знаменателя (5.21) иа нулевое значение, которое может возникать при равенстве хо, Xi и xt в конце итераций. Если такая ситуация возникает, следует перейти к выдаче значения ха ~ х.

программа 5.27. Реализация метода Эйткена - Стеффенсона. Ввод: данные f{x) при Хп-*РХ, е = РЪ к Хо = РО.

ИПО ПП 33 ПА ПП 33 t ИПО X ИПА

Fx - XY ИПО + ИПА 2 X - FxO

3i ИПО XY ПО - Fx ИПВ - Fx <0

00 ИПО С/П .................. В/О

Программу 5.27 можно проверить вычислением корня уравнения (5.14). При = 1,2 и е2=1-10- получим х = 1,1714285 при h 27 с.

5.5. Поиск экстремумов функции одной переменной

Поиск экстремумов функций нескольких переменных f{x, у, г, ...) относится к довольно сложным вычислительным задачам,. алгоритмы которых детально описаны в [24]. Реализация простейших из них на программируемых микрокалькуляторах дана в [7], но требует чрезмерно больших затрат времени. Поэтому поиск

экстремумов функций иесколь-

y-F(x)

Рис. 5.3. Иллюстрация к поиску экстремума функции F(x)

ких переменных целесообразно выполнять на настольных микро-ЭВМ. В связи с этим ограничимся описанием поиска экстремумов функции одной переменной.

Пусть некоторая целевая функция f (л:) имеет экстремумы при измене1гаи х. Задача их поиска близка к решению нелинейных уравнений и сводится к определению интервала

[а, 6], в котором находится экстремум, и его сужению. Будем искать максимум F{x), так как функция ]{х), имеющая минимум, сводится к функции F{x) умножением ]{х) на -1. Будем решать эту задачу методом поразрядного приближения.

Поскольку при однократном прохождении экстремума \х меняется с шагом Дд:) знак приращения F{x) может не изменяться (см. рис. 5.3), то следует перед дроблением Дх предусмотреть возврат назад на два шага после изменения знака приращения F{x).

Программа 5.28. Определение максимума F{x). Ввод: данные F(x), Хо = РА, Дхо = РВ, е/4 = РО. Значения х = х и F (x,vi) в точке максимума заносятся в регистры РХ = РД и РС соответственно, текущее значение х -»- РА.

пп 29 ПС ИПА ИПВ + ПА ПП 29 ИПС XY ПС - РлгО 03 ИПВ 2 1-1 -i- ПВ ¥х<а 23 /-/ ИПО - Fat < о 03 ИПА С/П ... ........................... В/О

Для F{x) = \Qx - 2x, вписав в программу фрагмент вычисления F(x) вида

1 О ИПА X FBat Fx 2 X ~

при ха == О, А«о = 1 и е/4 = 2,5-10- найдем (нажав клавиши В/О и С/П) Хк = 2,5 при /с « 190 с. Из регистра С вызываем значение . /•(«„)= 12,5.

5.6. Решение алгебраических уравнений

Решение алгебраических уравнений выполняется по приведенным ниже программам, которые описаны также в [7, 27].

Программа 5.29. Вычисление корней квадратного уравнения

I .агх -f fliX -Ь ао = О (6.22)

по формулам Xi, 2 = -ai/(2a2) ± \J(aJ(2a2)Y - Оо/аг . Ввод: ао = = РО, at = Р1 и 02 = Р2. Вывод результатов (после нажатня клавиш В/О и С/П): 7-*РХ, Xi--PY, л;2->-Р7, если корни вещественные, и 4 ->- РХ, m PY и d -> Р4, если корни xi, г = d ± jm комплексно сопряженные.

ИП1 /-/ ИП2 -т- 2 -г- П4 Fx ИПО ИП2 -г- - Fx < О 18 /-/ fV" 4 С/П fV~ ПЗ ИП4 -f П7 ИП4 ИПЗ - 7 С/П

Для уравнения г.к: - 5х - 10 = О получим Xi =-1,3117376 и Х2 = 3,8117376, а для уравнения х + 2х -J- 15 = О получим xi, г = = -1 ± /3,7416573.

Программа 5.30. Решение квадратного уравнения (5.22) с уменьшенной погрешностью вычисления вещественных корней (меньший . по модулю вещественный корень вычисляется по формуле хг = = -ao/(xia2), где xi - больший по модулю корень). Ввод: ао = PC, а, = РВ, и аг = РА. Вывод результатов (после нажатия В/О С/П): 7-*РХ, xi--P7, Xi.-»-P8, если корни вещественные, и 4РХ, rf->P4, ш -»- Р5, если корни Xi, 2 = ± комплексно сопряженные.

ИПС ИПА П9 ИПВ /-/ ИПА 2 X -

П4 Fx - Fx < О 31 /-/ fV ИП4 Fx < О 23

XY - О -Ь П7 ИПЭ XY П8 7

С/П F V" П5 4 С/П

Для уравнения Зх-Ь 20 ОООх-f 12 = О получим по этой программе X, = -6666,666 и Х2 = -6,0000006-10-4. По программе 5.2Э

4 В. П. Дьяконов . Э7