Программа 5.36. Нахождение производной при пяти ординатах:

V :5 V + 3p2-Sp-4 V + 3P2-P-. у

Ввод: j( 2 = Р2, У-1 = Р1, Jo = РО, у+1 = РА, j(+2 = РВ, h = Р9, jto = Р8 и X = РХ.

. Для у-2 = 0,35889029, jf-, = 0,35553253, уо = 0,35206533, у+, = 0,34849251, j/+2 = 0,34481800, дго = 0,5, h = 0,02 и л; = 0,51 получим у{х)= -0,1786488, а для л; = 0.5 получим у{х)= -0,17603265 при точЕЕОм значении -0,17603266. В этом и двух предшествующих примерах вычислялись производные функции у (х) = Z (л;) = e~*V /2n нормального распределения вероятностей по округленным данным таблиц [3].

Если нужно найти у{х) только в узлах интерполяции, формулы численного дифференцирования резко упрощаются. Например, при трех ординатах и р = О

yixo)-={y+i-y-.i)l2h, (5.26)

а при пяти ординатах и р = О

у{хо) = (У-г - Sy-t + 8y+i - У+г)/т. (5.27)

ИЕЕогда, используя эти формулы, целесообразно вычислять у[х = хо) аналитически заданной функции, производную которой нежелагельно или сложно найти в аналитическом виде. При этом вычисления ординат у(х) оформляются подпрограммой.

Программа 5,37. Вычисление производной функции y = f{x), заданной аналитически ло формуле (5.26). Ввод: данные f{x), hlxt,= = PC н хо = РХ.

ПД ИПС XY -f- ПВ ИПД ИПВ - ПП 29 ПА ИПД ПП 29 С/П ИПД ИПВ + ПП 29 ИПА - 2 -г ИПВ ч- С/П БП 00 ... ... •........................ В/О

Так как значения Ха могут меняться в широких пределах, то задается не абсолютное изменение х, а относительное Ах/ха = h./xa. Значение h/xo для гладких функций на практике легко оценивается.

Пусть надо вычислить производную функции у{х) = Z(x) ~

Q-xl22n в точке хо = 0,5 при h/xo = 0,01. В текст программы вписываем подпрограмму вычисления Z (х): Fx 2 /-/ ~ Fe* Ря 2 X F V~ Нажав клавиши В/О и С/П, получим значение

Z (0,5) = 0,35206532, еще раз нажав клавишу С/П, получим Z(0,5) =-0,1760005 при точных значениях 2(0,5) = 0,35206533 и Z(0,5) = -0,1760327 соответственно.

Программа 5.38. Вычисление производной аналитически заданной функции f{x) в точке х = Ха по пяти ее ордината.м с помощью формулы (5.27). Ввод: h/xo = PC и ха = РХ.

Для приведенного выше примера получим 2(0,5) = 0,35206532 и Z(0,5)=-0,1760325.

5.8. Вычисление частных производных и коэффициентов чувствительности

Нередко необходимо найти частные производные функции f(x, у, г, ...) нескольких переменных при х = Хо, у = уо, г = г» и т. д. В отличие от численного дифференцирования по одному параметру, при вычислении частных производных необходимо выбирать один изменяемый параметр и фиксировать значения остальных параметров. Это можно обеспечить с помощью косвенной адресации регистров памяти, отведенных под ввод соответствующих параметров. Например, если хо = Р1, t/o = Р2, го = РЗ и т. д., то программу можно составить так, чтобы указание номера регистра (кода переменной), например цифры 2, при вычислении dflCij г т. д. непосредственно указывало на то, по какому параметру выполняется дифференцирование. В конце вычисления параметру присваивается исходное значение.

Программа 5.39. Вычисление частных производных аналитически заданной функции f{x,y,z,...) по трем ее ординатам. Ввод: h = PC, данные f{x, у, z, ...), коды переменных.

ПД КИПД ПА ИПС - КПД ПП 27 ПВ ИПА ИПС -Ь КПД ПП 27 ИПВ. 2 ИПС

-г- ИПА КПД XY С/П БП 00 ...... В/О

Пусть надо найти частные производные функции

fix, у, Z) = 2x2 jy2 ху - 2хг, (5.28);

прн х = хо = 0, у = Уо = О и г = Zo = 1. Фрагмент программы вычисления функции fix,у,г) при х = Р1, i/ = Р2 и г = РЗ:

ИП1 Fx2 2 X ИП2 Fx + ИПЗ Рх» 3 X - ИП1 ИП2 X 3 X - ИП1 ИПЗ X 2 X -

Вводим программу с этим фрагментом и исходные данные: h = 0,001 = PC, о = PI, о = Р2 и 1 = РЗ. Для вычисления dfldx набираем цифру 1 (код переменной х) и, нажав клавишу С/П,. получим результат dffdy = -2 при » 20 с. Набрав цифру 2 (код переменной у) и нажав клавишу С/П, получим dfjdy = 0. Наконец, набрав цифру 3 (код переменной г), получим dfjdz = -6. Эти значения полностью совпадают с точными.

Программа 5.40. Вычисление частных производных аналитически заданной функции / (х, у, г, ...) по пяти ее ординатам. Ввод] h = PC, данные f{x, у, z, ..коды переменных.

ПД КИПД ПА ИПС - КПД ПП 53 ПВ ИПА

ИПС + КПД ПП 53 ИПВ - 8 X ПВ

ИПА ИПС 2 X - КПД ПП 53 ИПВ +

ПВ ИПА ИПС 2 X + КПД ПП 53 ИПВ

XY - 12 ИПС ИПА КПД XY

С/П БП 00 .................. В/О

Работу этой программы можно проверить по приведенному выше примеру.

Нередко переменные функции /(х, у, г, ...) имеют резко отличные исходные значения. В этом случае целесообразно задание относительного изменения h/p каждой переменной р (р = х, у, г, ...).

Программа 5.41. ВычислсЕше частных производных аналитически заданной функции /(х, у, г, ...) по трем ее ординатам при задании относительного приращения hip каждого параметра. Ввод: h/p = Р9, данные f{x. у, г, ...), коды переменных.

ПД КИПД ПА f ИПС X - КПД ПП 34 ПВ ИПА i ИПС X + КПД ПП 34 ИПВ - 2 ИПС -т- ИПА ПВ ИПА КПД ИПВ С/П БП 00............ ... В/О

Для приведенного выше контрольного примера получим при h/p = = 0,01, Хо = 1, </а = 2 н гэ = 3 значения df/dx = -8, df/dy = I н df/дг = -20, которые ташке совпадают с точными значениями.