При n = 2, ! = 1, 2 имеем At 2 = \ и f,- = =F VW =1 +0,57735027, при n = 3, i = 1, 2, 3 имеем /4i, з = 5/9, Ла = 8/9, «1 = + Voi6 = =F 0,77459667 и <2 =0.

Программа 5.53. Интегрирование методом Гаусса при я = 2. Ввод см, в программе 5.51.

ПО 3 F1/X

П1 - ИПО

XY ПП 27

-т- ПА ИПВ -

ИПД X ИПА +

ПС в/о.....

FV" ПД О ПС С/П t С/П П2 ИП1 t ИП2 + П1 FLO 15 ИПС С/П ПВ + 2 - ПВ ИПД /-/ ПП 41 ИПВ ПП 52 ИПВ X ИПС + ............... В/6

Программа 5.54. Интегрирование методом Гаусса при п = 3. Ввод рм. в программе 5.51.

Погрешности, присущие методу численного интегрирования Гаусса при я = 2, 3, определяются остаточными членами [5]

/?з =

15 750

Из табл. 5.4 и 5.5 следует, что с ростом пит точность инте-грированпя растет. Обычно для получения требуемой точности находят / при разных от (2, 4, 8, 16 и г. д.). Точными считают совпадающие знаки результата. Кроме точности при проведении интегрирования надо учитывать сложность программы, число занятых ею регистров памяти и наличие у подынтегральной функции особенно-cTpii, например вида О/О, оо/оо илн f (х) -* оо. Если есть особенность при ха или х-*Ь, то предпочтение отдается методу Гаусса, т.к. у чего абсциссы f{x) никогда ие попадают на концы интервала [а,Ь]. Если особенность появляется в середине интервала [а, bj, предпочти-те.1ьней использование методов с равномерным и легко предсказываемым положением абсцисс (Симпсона, Ньютона - Котеса, Уэддля).

Интегрирование таблично заданных функций обеспечивается по сл.лующей программе. Число интервалов разбиения п при вычислениях по этой программе должно быть четным.

Таблица 5.5

Интеграл и его точное значение

Программа

Метод

Результат

Вр.-мя счета, мин

-dx =

= а,9074539

5.48 5.49

5.50 5.51 5.52 5.53 5.54

БоД9

Ньютона -Котеса при гг=6

Уэддля

Чебышева при и = 2 Чебышева при п=3 Гаусса при п - 2 Гаусса при гг = 3

0.907455186 0,90745414

0,90745401

0,90745077

0,9074528

0.90737764

0,90745031

2,5 3

Программа 5,53. Интегрирование таблично заданны.х функций методом Симпсона: Ввод; h = Р8, число интервалов разбиения п, ординаты у о, У1, У-г н регистр X.

ПО С/П П9 С/П КИПО XY 4 X ИП9 + П9 С/П ИПЭ + + FLO 02 FBjt; ИПЗ X 3 ~ С/П БП 00

Если h = 0,25, « = 4, 0 = 3, 1 = 4, г/2 = 5, 3 = 6 и 4 = 7, получим / = 5.

5.10. Решение дифференциальных уравнений

Решение обыкновенного дифференциального уравнения (вида, Коши)

у = dy/dx = f(x, у) (б.ЗЗУ

заключается в нахождении функции у(х), удовлетворяющей уравнению (5.33) при известных начальных условиях Хо и jp« = у{хо).

При одношаговых методах решения каждое иовое значение yi+i находится по известному предшествующему значению yi. Этим методам присуще «самостартование>, а также возможность изменения шага h == Xi+i - х, в процессе вычислений. Реализация численных методов решения (5,33) заключается в разложении функции у(х) в

ряд Тейлора, у которого берется некоторое число членов, опреде-ляЕощее порядок п метода [1-8]. Погрешность решения (5.33) пропорциональна /!"+.

Программа 5.56. Решение дифференциального уравнения простым методо.м Эйлера (первого порядка);

/+1 = г/г + Л/ (Jr Vi)-

Ввод; данные f(x:, tji) при j/iPC, хо = РВ, = PC и

й - РД.

ИПВ ИПД -f ПВ ..................

ИПД X ИПС -j- ПС ИПВ С/П БП 00

Для контроля этой и последующих программ решим простое дифференциальное уравнение

у dyldx = -у[х, (5.34)

аналитическое решение для которого известно;

(л:)= ехр(--г/т).

Фрагмент вычисления 1(х, у) = -yjx имеет вид; ИПС 1-1 ИПЭ -

Введя исходные данные; Хо = О, (/о = 1, Л = 0,1 н т = 1 = Р9, нажав клавиши В/О и С/П, получим xi = 0,1. Нажав клавишу XY, и.! регистра У вызываем yi = 0,9. Далее, нажимая поочередно клавиши С/П н XY, будем получать значения хг = 0,2, 2 = 0,81, хз = 0,3, у% = 0,729 и т. д.

Для повышения точности вычислении шаг h целесообразно делать малым, а вывод результатов производить с большим шагом И = Nh. Это реализует следующая программа.

Программа 5.57. Реализация простого метода Эйлера с выдаче:"! результатов с шаго.ад = Nh. Ввод; данные f{x, у) прн л;-»-РВ и у-РС, N = РА, Хо = РВ, уо = РС uh = РД.

ИПА ПО ИПВ ИПД -4- ПВ ...... ИПД X

ИПС + ПС FLO 02 ИПС ИПВ С/П БП 00

Для приведенного выше примера и jV = 5 будем получать XI = 0,5, 1 = 0,59049, ха = 1, г/2 = 0,34867844, хз = 1,5, г/з = = 0,20589114 н т. д.

Программа 5.58. Решение дифференциального уравнения модифицированным методом Эйлера (второго порядка):

Уш = У1 + Л/ + /2; yi+ofi) 2/0,5 = г/( + (-(. jz/Va.