Ввод: данные y = f{x, у) при дг-Р1 и у-*РО, {хо + Щ-РГ, у, = РО, У2 = РА, г/( = РВ, = РС и ft = РД. Вывод: Xi РХ .= Р1, «/i-*PY = РО.

ИПС /-/ 9 X ИПВ ПС 3 7 X + ИПА ПВ 5 9 X - П2 ПП 40 ПА ,5 5 X ИП2 + ИПД X 2 4-4-ИПО + ПО ИП1 ИПД + П1 С/П БП 00 ........................... В/О

Результаты вычислений контрольного примера-решения (5.34) по этой программе даны в табл. 5.7. Значения Уо = -\,у\ = «=-0.904837, = - 0,81873086 й г/3 = 0,7408184 взяты из решения дифференциального уравнения (5.34) методом Рунге - Кутта.

Как видно из сравнения табл. 5.6 и 5.7, метод Адамса дает существенный выигрыш во времени вычислений на одном шаге по сравнению с одношаговыми методами аналогичного порядка. Это достоинство можно сочетать с возможностью «самостартования» одношаговых методов, что иллюстрируется следующей программой.

Программа 5.64. Реализация комбинированного метода Эйлера - Адамса. Ввод: данные y = f{x,y) прн хРА и (/РВ. JCC = РА, г/„ = РВ nft = РД. Вывод: xi -> РХ=4А, г/,- PY = РВ.

ПП 44 ПС ПП 33 ПП 44 ИПС + ИПД

X 2 -4- ИПО + ПВ ИПА С/П ПП 44

ИПС XY ПС 3 X - 2 / / ч- ПП

33 БП 17 ИПД X ИПВ ПО -j- ПВ ИПА

ИПД + ПА В/О ............... В/О

При нажатии клавиш В/О и С/П эта программа сначала вычисляет г/i-> РВ и 0-»-РС усовершенствованным методом Эйлера. Затем при нажатии только клавиши С/П значения Xi и yi вычисляются методом Адамса. Если по ходу вычислений надо сменить шаг h, новое значение ft заносится в регистр Д и нажимаются (как при первом пуске) клавиши В/О и С/П (далее только С/П). Результаты вычислений приведены в табл. 5.7.

Помимо описанного ранее метода прогноза и коррекции (усовершенствованного метода Эйлера - Кошн) на микрокалькулятора. просто реализовать двухшаговый метод [6], базирующийся на формулах прогноза

yi-H = + 2ft/(ji- 0 (5 35)

и коррекции

.ч 1 = i/.- + I [/ (/. yi) +! (i. yi+i)]- (5 36)

Программа 5.63. Реализация метода прогноза (5.35) н коррекции (5.36) второго порядка. Ввод; данные у = f{x, у] нри х-* РВ,

уР\. f(Xi, yi)== РО, уо = PA, Хг = РВ, г/1 = PC И ft = РД. Вы- вод: Xi -> РХ = РВ, (/, PY = PC,

ИПВ ИПД + ПВ ИПО ИПД X 2 X ИПА ПП 30 ИПО + ИПД X 2 ч- ИПС ПП 30 ПО ИПС ПА ИП1 ПС ИПВ С/П БП 00 + П1 ..................... В/О

Возьмем для старта данные модифицированного метода Эйлера (см. выше контрольный пример): Хо = О, 0=1, Xi = 0,1, yi => = 0.905, /(X,, yi) = -г/,/т = -0,905 при т = 1 и ft = 0,1; нажимая клавиши С/П (при первом пуске В/О и С/П) и XY, будем получать данные- Х2 = 0,2. уг = 0,8188. Хз = 0,3. у, = 0.740798. Х4 = 0,4. (/4 = 0,67022608 и т. д.

Точность методов прогноза и коррекции можно несколько повысить, уточнив окончательное значение j/, = j/f[ по результатам вычисления yf\.i при прогнозе и i i при коррекции по форму-

" yfU=HU+y%M. (5.37)

Программа 5.66. Реализация метода прогноза и коррекции с уточнением результата по формуле (5.37), Ввод и вывод см. в программе 5.65.

ИПВ ИПД -Ь ПВ ИПО ИПД X 2 X ИПА

-Ь пп 37 ИПО + ИПД X 2 ~ ИПС

ПА -f 4 X ИП1 -f б -f- ПС ПП

37 ПО ИПС ИПВ С/П БП 00 П1 ... В/О

Воспользовавшись для старта этой программы значениями (/I = 0,9048375 и /(j:i,t/0 = -0,9048-375, найденными- методом Рунге - Кутта, будем получать следующие -данные: Хг = 0,2, уг =. = 0,8187217, Хз = 0,3. уз = 0.7408034, Xi = 0,4. у = 0,67030034 и т. д.

Недостатком все.х описанных выше методов является возникновение числовой неустойчивости решения при большом шаге ft. Так. при решении дифференциального уравнения (5.34) неустойчивость возникает при ft т, поэтому следует брать Л < т. Неустойчивость отсутствует у так называемых неявных методов, у которых у,+, находится по значению f{xt, yi+i). Детальное рассмотрение этих специальных методов выходит за рамки данной книги. Отметим лишь, что сочетание явноо и неявного методов Эйлера приводит к выражению

. J +1 = у1 + Л[.4/(х., yi) -f (1 - A)f{xi, y,-+i)], (5.38)

причем при Л - 1 реализуется явный метод Эйлера, прн Л = О - неявный, а прн О < А < I - комбинированный [16]. При этом не-устойчивость отсутствует, если О -С Л < 0,5. Погрешности явного и

неявного методов по модулю близки (пропорциональны h), но по знаку различны. Поэтому при А» 0,5 имеет место значительно меньшая погрешность, чем у этих методов, используемых а отдельности.

В общем случае уравнение (5.38) решается итерационным методом. Однако иногда его можно разрешить относительно yu+i в явном виде. Приведем пример.

Рис. 5.4. Интегрирующая /?С-цепь (а) и пример расчета ее реакции на заданное входное воздействие [б)

Реакция u{i) интегрирующей RC-mnn (рис. 5.4) на воздействие e(i) определяется из решения дифференциального уравнения

du е (t) - и

и (О :

где т = RC, Для такого уравнения из (5.38) при x=e{t) и у~и{1) имеем

e{t)-u]h , (1-Л)[(/,,)-г/, + ,1;, = 4-----i----•

Разрешим последнее уравнение относительно Ui+i и получим

и, + \е {t.) - u]AhX + (\-A)e{t.,) Л/т

1 -j- (1 - л) hjx

(5.39)

Программа 5.67. Вычисление реакции /?С-цепи на воздействие e(t) комбинированным (явным и неявным) методом Эйлера (5.39). Ввод: данные e(t) прн РВ, Л == РА, U = РВ, «о = РС, Л = РД и т = i?C = Р9. Вывод: /. РХ, т PY = РС и e(U) Р6.

ИПВ ПП 42

П8 X ИПС

42 ИП8 X

ИПА - ИП8

БП 00

ИПС - ИПА X ИПД ИПЭ

-f П7 ИПВ ИПД + ПВ ПП

1 ИПА - X ИП7 1

XI -4- -г- ПС ИПВ С/П

............... ГШ в/о