Главная -> Книги

(0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20) (21) (22) (23) (24) (25) (26) (27) (28) (29) (30) (31) (32) (33) (34) (35) (36) (37) ( 38 ) (39) (40) (41) (42) (43) (44) (45) (46) (47) (48) (49) (50) (51) (52) (53) (54) (55) (56) (57) (58) (59) (60) (61) (62) (63) (64) (65) (66) (67) (68) (69) (70) (71) (72) (73) (38)

Пусть надо найти реакцию /?С-цепи на двухэкспоненциальный импульс

е(<) = £;о(е-/-е-*/=).

Для этого в программу вписываем фрагмент вычисления e{t) в виде подпрограммы (ti = Р1, тг = Р2, Uo = РО)

ИПВ /-/ ИП1 Ч- Fe* ИПВ /-/ ИП2 ~ Ре" - ИПО X

Введя исходные данные Л = 0,5, /о = О, «0 = 0, h = 0,2, = 10, т = 1, Т) = 1 и т2 = 0,5, получим t, = 0,2, u(t\)=. .= 0,1349188, i2 = 0,4, «(г) = 0,44620789, = 0,6, «(з) = 0,7910869 н т. д. (рис. 5.4,6). Единицы измерения i, т, ti, та, Uo и « - секунды н вольты.

Системы дифференциальных уравнений первой степени решаются описанными выше методами. Остановимся на решении часто встре-]ающихся систем из двух дифференциальных уравнений вида

= = = 4f = * (5.40)

Решение системы (5,40) простым методом Эйлера сводится к вычислениям yi+i и Zi+i по формулам Эйлера.

Программа 5.68. Реализация рростого метода Эйлера для системы из двух дифференциальных уравнений вида (5.40). Ввод: данные f(x, у, Z) и ф(д:, у, г) при х-)-РА, у->РВ н лPC, Хо = РА, уо = РВ, 2о = PC н Л = РД. Вывод: х,-> РХ = РА, yt-PY = РВ

, п 2i -v PC.

............... ИПД X ИПВ -f по

.................. ИПД X ИПС +

пс ИПО ПВ ИПА ИПД -f ПА С/П БП 00

Модифицированный метод Эйлера (второго порядка) для системы (5.40) реализуется выражениями

yt+iyi + iUi i) у1 + 1 = yc + ff {i + Y y{+ui)>

]+i = Zi+->p{xt, Zi), г;1 = г, + /гф (x.-f l y, z]ij

и следующей программой. - - . . ,

Программа 5.69. Реализация модифицированного метода Эйлера для системы (5.40), Ввод: данные f{x, у, г) и tf(x, у, z) при х--РО, у-РХ и г-РС, Л/2 = Р9, ха= РО, о = РА == РВ, zo = PC = .= РД. Вывод: Xi->P\ = РО, у, PY = РА и 2, PC.

ПП 24 X ПЭ FBx ИПО + ПО ПП 24 XY Ч- П9 ИПО + ПО ИПС ПД ИПА ПВ



ИПО С/П БП 00 у...

ИПЭ X ИПВ + П1 ИПЭ X ИПД + ПС

ИП1 ПА

ИПЭ в/о

Для проверки двух последних программ решим систему дифференциальных уравнений

dy dz

определяющих табулированные функции Бесселя л-го порядка [1, 2, 6]. При Л/2 •= 0,026, /г =. 1, jco = 0,2, уо = 0,09950088 и го -= 0,49235 будем получать данные, приведенные в табл. 5.8 (даны выборочно).

Таблица 5.8

Метод

Точное решение у (*)-/ (X)

8вл*ра

простой

Эйлера модифицированный

. 0,09950083

0,09950083

, 0.09950083

0,14855151

0,14832009

/ 0,14831881

0.19667502

0.19603182

J 0,19602657

0,24350396

0.2422791

• 0,2422684

,5" 0,44633959

0,44008729

0,44006058

0,59549752

0,57669729

0,57672480

-0,074593348

-0,0663433J

-0,0660443Эа

-0,25419072

-0,23126802

-0,231060431

Дифференциальные уравнения п-го порядка сводятся к системам из п уравнений первого порядка, которые решаются опнсаины-ми выше методами (см. приложение 3 и [29]).

б.П. Спектральный анализ

Периодическая функция, зависящая от времени, с периодом T - y(i), удовлетворяющая условиям Дирихле [1, 2], может быть разложена в ряд Фурье

У (О = -у- + («я cos nwii + bn sin n(u,t) (5.41)

() = -J- + 5] « COS {nmt - ф„).

(5.42)

где n - номер гармоники, coi 2nfi - угловая частота повторения, /i -частота повторения первой гармоники, а», «„ и йл; ксэффнци-



енты ряда Фурье. Точное представление y(t) возможно при m-voo, однако на практике обычно используются укороченные ряды Фурье с конечным значением т.

программа 5.70. Вычисление y(i) по разложению в ряд Фурье 1(5.41) с m < 6. Ввод: ао Ч-а» = РО- Р6; fei ч-fc, г= Р7Р9; bi-r-be= РА- PC, ЦТ = РХ. При смене t/T очищается операционный блок (нажатием клавиш Сх fff) и вводится новое значение Г. Переключатель Р - Г устанавливается в положение Р.

F cos

р sin

F cos

F sin

P cos

F sin

F cos

Fsin

Fcos

P sin

Fcos

P sin

Если нас интересует только форма y{t), то член ао/2 может быть отброшен. Тогда регистр О мо-жно использовать для вычисления номеров гармоник п = 1, 2, ..., m (m < 6) и организации косвенной адресации вызова а„ и Ьп из регистров памяти. Использование квадратных скобок объясняется в описании программы 5.71.

программа 5.71. Вычисление y(i) по разложению в ряд Фурье (5.41) без члена ао/2. Ввод: ai = PI, fei = Р2, - Р9, 65 =

= РА, ае = РВ, fee = PC (вводятся коэффициенты до а„, Ь„ включительно), m => РХ и /Г == РХ. При изменении f/T повторяется ввод только т и i/T. Переключатель Р -- Г в положении Р.

-f 2 X 1 -f ПО О С/П Рл X

2 X ПД О t XY ИПД ИПО 1 -

2 -н X t Fsin КИПО X XY Fcos КИПО

X -f -f ИПО 1 - Fx = О 15 XY С/П

БП 00

Для контроля этих программ вычислим значение ряда (5.41) при m = 3 и следующих данных: Яо = 0, а, = -5,23, Oj = О, аз = = 5,1, bi = 25,3, 62 = О и Ьз = 3,47. Так как m = 3 < 6, то иэ программы 5.70 можно исключить фрагмент, заключенный в квадратные скобки. Введя коэффиценты Яп,. Ьп с помощью программ 5.70 и 5.71, будем получать следующие значения y{t/T): (/(1/24) = .= 7,5562347, (/(8/24) =29,625443, (/(13/24) =-7,5562351, /(20/24)-= = -29,625444 и т. д. Время счета около 32 с

программа 5.72. Вычисление y(t) по разложению (5.42) без члена ао/2. Ввод: л1 = Р1, (pi = Р2, ..., = Р9, (ps = РА, = = РВ, фб = PC (вводятся An и фп до Am и фт включительно), m =1



(0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20) (21) (22) (23) (24) (25) (26) (27) (28) (29) (30) (31) (32) (33) (34) (35) (36) (37) ( 38 ) (39) (40) (41) (42) (43) (44) (45) (46) (47) (48) (49) (50) (51) (52) (53) (54) (55) (56) (57) (58) (59) (60) (61) (62) (63) (64) (65) (66) (67) (68) (69) (70) (71) (72) (73)