Ввод: 6i=-57719165 = PI, ба = 98820589 = P2, 6s-89705694=! = РЗ, bi == 91820688 = P4, 65 = -75670408 = P5, 6e=48219934=». P6, 67 = -19352782 =. P7, bi = 3586835 = P8 н « = PX.

ПД 8 no ИП8 t XY ИПД X КИПО +

ИПО Рл:-=0 05 XY .1 ВП 8 1 +

С/П БП 00

При « = Q,2 Г(1,2)= 0,9181689 (точное значение 0,91816874J. при х-=0,8 Г(1,8)= 0,9313837 (точное значение 0,931383771)} и » 22 0.

Неполные гамма-функции представлены соотношениями [3]i

о

Г (а, х) = Т(а)-у (а, х) = е-"- dt.

Все эти функции могут быть определены через функцию

t(a. х)х-Р(а, x)=-fjy(a. х) rf -f-dt.

Программа 6.13. Вычисление функции у* (а, х) разложением В

г (а) У (а, x) = J J+fur « «, - 1, - 2, ...

Ввод: а = РХ и л: = РХ.

П8 С/П П9 1 ПЗ П5 О Пб П4 КИП4

ИП4 ИПб X П5 ИП8 ИП4 + X П7 ИПЭ

/-/ ИПЗ X ПЗ XY ч- ИПб + ИПб XY

Пб - Рл = 0 09 ИП8 Р1/л: ИПб + ПО С/П

Пример. Найти \*(1;4) и \*{-0,5: -3). Вводим а = 1 и * = 4, получаем Г(1)\»(1; 4) = 0,2454211 при « 2,5 мин. Но Г(1)= Г(1 -1-0)= О! = 1, следовательно, y*(1; 4)= 0,2454211. Для второго случая, введя а >=» -0,5 и х = -3, получим

Г(-0,5)v*(-0,5; -3)= 10,495471, По описанным выше программам или таблицам [3] находим Г(-0,5). В данном случае Г (-0,5) = = - 2 Vn. Следовательно, у* (-0,5; -3) = 10,49547l/(-2 V") = = - 2,9607177.

6.4. Функции Бесселя (включая модифицированные)

Функции Бёсселя являются решениями дифференциального уравнения [1, 2]

при z = (x-\-jy). Ограничимся вычислением функций Бесселя для действительных г = х и целых v == п (порядок функций). Дву.м независимым решениям (6.6) соответствуют функции Бесселя первого J„(x) и второго Y„(x) рода.

Программа 6.14. Вычисление J„{x) разложением в ряд

{Х/2Г- (Х/2Г

11(п+ 1) 2I(«+ 1)(« + 2)

(6.7)

Имеем /о(0,5)= 0,93846981 (ic » 40 с); /о(4) =-0,39714976; ;зо(20) = 1,2401602-10-« (h « 3 мин).

Ряд для Yn[x) весьма сложен [3]. Кроме того, вычисления ]„{х) и Yn{x) разложением в ряд занимают много времени. Поэтому целесообразно вычисление /о(*), h(x), Ya(x) и Yi{x) аппроксимацией с последующим вычислением /„(х) и Yn(x) по рекуррентным формулам.

Программа 6.15. Вычисление h{x) и Yo{x) аппроксимацией: (л:) == 1 - ai (xizy + а, (лг/З) - а, (х1ЪУ +

+ 04 (х1ЪУ - аь (лг/3)° -f ав [х/ЗУ для -3 л: 3 с погрешностью до 5-10- и

У„ {X) = - in /о (дг) + 4-0 + fti {х1Ъ) - 62 +

+ Ьз(х13У-ЬЛФУ + Ь,{х1ЪУ<-Ь,(х13У

для О 3 с погрешностью до 1,4-10-*. Ввод: а, = 2,2499997 = = Р1, 02 = 1,2656208 = Р2, а, = 0,3163866 = РЗ. а* = 0,0444479 = = Р4. 05= 0,0039414 == Р5, ав = 0,00021-=Р6, &а~3,6746691 10-.=j

= Р7, й, = 6,0559366 10- = Р8, Ьг = 7,4350384 10-" = Р9, Ь. -= = 2,5300117-10-= РО, &4 = 0,4261214-10-1 = РА, 65 =

= 0,0427916-10-1 РВ, Ьо = 0,0024846-10- = PC и л: = РХ.

f 3 -г- Fx ПД 1 ИПД ИПб X Hi 15

- ИПД X ИП4 + ИПД X ИПЗ - ИПД

X 11П2 + ИПД X ИП1 - ИПД X +

С/П 2 X Ря - ИПД fV" 3 X 2 Fin X ИП7 -f ИПВ ИПС ИПД X -ИПД X ИПА - ИПД X ИПО + ИПД X ИП9 - ИПД X ИП8 -f ИПД X + С/П БП 00

Контрольные примеры (в скобках даны точные-значения результатов). Уо(0,5) = 0,9384698 (0,9384698072); Уо(0,5) = = -0,44451888 (-0,4445187335); /о(1) = 0,7651977 (0,7651976865); У„(1) =0,088256943 (0,0882569642); /о (2) =0,2238908 (0,2238907791); Уо (2)= 0,51037568 (0,5103756726).

Программа 6,16. Вычисление функций Jt(x) и У,(л:) аппроксимацией:

.-A<«,=i-.,(f)+«.(ir-(l)+4l)-

для -3 £5 3 с погрешностью менее 1,3-10-» и

„. и, - (I) « ш (I) /, (-1 - ь. + ь, (1)4 ь, (i ) -

-Ч1Г+ЧЯ-Чт)%.(1)"

для о < а: 3 с погрешностью менее 1,1 10-. Ввод; 0) = = 5,6249985-10- = Р1, аг = 2,1093573-10- = Р2, а, =

= 0,3954289 10-1 = РЗ, а* = 0,0443319-10-= Р4, 0,=

= 0,0031761-10-= Р5, 06 = 0,0001109-10-1 = Р6, Ь„ = 0,6366198 = = Р7, bi = 0,2212091 = Р8, Ьг = 2,1682709 = Р9, Ьз = 1,3164827 = = РО, bi = 0,3123951 = РА, Ьь = 0,0400976 = РВ, = 0,0027873 = = PC и л: = РХ.