Для д; = 0,5 и 3 получим скобках даны точные знзпенияЬ У, (0,5)= 0,24226846 (0,2422684577), Ki(0,5) =-1.4714725

(-1,4714723927), 7,(3) = 0,33905898 (0,3390589585), 1(3) = = 0,3245744 (0,324674448).

Программа 6.17. Вычисление функций Бесселя Jn(x\ п Упх) ио рекуррентному соотношению

B,ix)BJx)~B (x).

гле В означает /, У или любую линейную комбинацию этих функций, коэффициенты которых не зависят от х н п. Ввод; х, Bn~i{x) и В„{х) в регистр X. Вывод: п-»-РХ, B„(a;)->PY.

П7 С/П П8 С/П П9 О П4 КИП4 ИП4 2 X ига X ИП7 н- ИПЗ - ИПЭ П8 XY ПЭ ИП4 1 + С/П БП 07

Введя Х=1, Уо(4)= 8,8256943-10-2 и УГ(1) =-7,8!2l282-10-, нажимая клавиши С/П и XY, будем получать следующие результаты (в скобках даны точные значения):

га = 2 Kj (1) = - 1,6506825 (-1,65068261)

п = 3 73 (1) =- 5,8215172 (-5,8215)

п = 4 Г4 (1) = -33,27842 (-33,278) и т д.

При хЗ функции 1о(х) и Yo{x) могут вычисляться с помощью аппроксимаций:

Уо(л;) = А-~"/осозео и Yo(x) = x-fosin&o,

- [- + » (I) + (I)+" (I)+{т)+

+«.Ш+..(7)Т>»-

вычисляется с погрешностью менее 1,6-10- и

».Ш+Ч7)-ьЧ1)+Ч7) +

+ Ч7) + Ч1)Т»

вычисляется с погрешностью менее 7-10-. Значения коэффициентов Оо -4- Яв и 6о -Н Ьб указаны в табл. 6.1.

Функции Ji(x) н Yiix) при X > 3 находятся по аппроксимации)

У, (д:) = л-/, cos Oi и Ki (д) = х-% sin 9i,

Таблица 6.1

10»

вычисляется с погрешностью менее 4 • 10- и

-Ь+Ч7) + (7Г + Ч1Г + Ч1) +

вычисляется с погрешностью менее 9-10-. Значения коэффициентов ао -7- Об и Ьо -г- 6о даны в табл. 6.1.

Программа 6.18. Вычисление функций Бесселя Ji>{x), Уох), Ji(x) и Yi{x) аппроксимациями (6.8)-4-(6.11) для ж > 3. Ввод: см. в инструкции к программе (после ее текста). Переключатель Р - Г, в положении Р.

Для вычисления функции К»(л) н Jo{x) вводятся коэффициенты ai Яб = Р1Р6 (значение ао занесено в текст программы),

-f б2 = Р7-I-Р9, &з = РО, б4~Ьб = РА4-РС (см. табл. 6.!). Затем вводится значение х = РХ, нажимаются клавиши В/О и С/П (получим /o(.v)) и С/П (получим Уо(.<))- При смене я; = РХ нажимается дважды только клавиша С/П. Для вычисления Ji{x) и Yi{x) все операции повторяются заново с вводом значений коэффициентов аппроксимаций для этих функций.

Контрольные примеры (в скобках даны точные значения функций Бесселя), /о(4) =-0,3971498 (-0,3971498098), Ко(4) = = -0,01694073 (-0,01969407393), /о (10) =-0,24593577

(-0,245937644), Уо( Ю) = 0,055671124 (0,0556711673), /,(4) = = -0,066043332 (-0,0660433280), У, (4) = 0,3979257 (0,3979257106), (10)= 0,043472698 (0,043727462), У1 (10) = 0,24901544

(0,2490154242).

Решениями днффереинального уравнения

являются модифицированные функции Бесселя J(z) и А„(г). Как л прежде ограничимся вычислением этих функций для действительных г = X к целых v= п.

Функции [п(х) имеют разложение в ряд

я! V2; L 11(п+1) 2l(rt+1) (я-f 2)

+ ...

(6.12)

к могут вычисляться по программе 6.14, если в ней оператор смены внака /-/ по адресу 39 заменить оператором КНОП (нет операции). Тогда получим /о (2) = 2,2795892, /i (2) = 1,5906368, /о(10) = = 2815,7168.

Программа 6.19. Вычисление модифицированных функций Бесселя 1о(х) и It(x) при -3,75 < x < 3,75 аппроксимацией;

/о {х)=\ + af- + ai* + at + at + a.to + at

с погрешностью не более 1,610- н

jc-/i (х) = 0,5 + bit + bit + bit + bit< + 65° + bt

с погрешностью ие более 8-10-", причем t = х/3,75, а также функции 1п(х) по рекуррентному соотношению

Ввод: Я) = 3,5156229 = PI, аг = 3,0899424 == Р2, а, = 1,2067492 = = РЗ, «4 = 0,2659732 = Р4, as = 0,0360768 = Р5, ав = 0,0045813 (вписан в программу), bi = 0,87890594 = Р7, Ьг = 0,51498869 = Р8, 6j = 0,15084934 Р9, Й4 = 0,02658733 = РО, us = 0,00301532 = РА. &. = 0,00032411 = РВ и x = РХ. Вывод: гг -> РХ = Р6, 1п{х) -* PY.