6.9. Интеграл вероятности и связанные <: ним функции

К важнейшим функциям теории вероятности относятся плотность ГауссоБского стандартного распределения

1], ,(х) =. р (ж) = е -*/VV (6.13)

и функция распределения (интеграл вероятности)

Ф(х) = ~\е-* dt. <6.14)

Площадь между кривой (х) и осью абсцисс слева от вертикали, проходящей через точку {х,0)

(6.15)

л/2я

Полагая t-\/2=u и у = х/\/2, получим [l]i

Эта функция связана с П(л;) простым соотношением

ф(-г+1 = 2П(д:). (6.17)

Программа 6.31. Вычисление функции Ф{у) разложением в ряд [6](г/ = РХ):

•(i/ л/я 1~~Т!3~ + ~2!5---•) (б-)

П9 Fx 2 /-/ Пб 2 Ря -г- fV"

ИПЭ X П7 П8 О П4 КИП4 ИП4 2 X

1 -+- П5 ИП4 2 XI - ИПб X

ИП4 -i- ИПб ИП7 X П7 ИП8 + П8

РВл; - Рл = 0 16 ИПЗ С/П БП 00

Примеры. Ф(0,1)= 0,079655675 вычисляется за 33 с, Ф(1)=1 [= 0,6826895 - 33 80 с и Ф(4) = 0,99993495 - за 5 мин.

Программа 6,32. Вычисление Ф{у) при (/> 4 асимптотическим разложение.м (у = РХ):

е-У /2"/. 1,1-3 1-3-5 \ , , Ф(,) = ,-д/я(- + "---...). (6,19)

т Fx Ш 2 /-/ -4. Fe 2 Рл :-

F V X ИП9 -7- П9 3 ИП8 н- i X»

- ИП8 ~ 1 - ИП9 X 1 + С/П БП 00

Пример. Ф(4) == 0,9999365 вычисляется за 10 с. Программа 6.33. Вычисление Ф(у) при любых у разложением (6.18) для (/ < 4 и (6.19) при у 4.

П9 4 - Рл; < О 52 ИП9 Рх 2 /-/ -г

П6 2 Ря -г pV ИП9 X П7 П8 О

П4 КИП4 ИП4 2 X 1 + П5 ИП4 2

X 1 - ИПб X ИП4 -г- ИПб ч- ИП7

X П7 ИПЗ + П8 РВх - Fx = О 21 ИПЗ

БП 81 ИП9 Fx Пб 2 /-/ ~ Ре 2

Ря н- pV" X ИП9 4- П9 3 ИПб -4-

1 XY - ИПб -г- 1 - ИП9 X 1 + С/П БП 00

При г/= 0,1 получим Ф (0,1 )= 0,079655675, а при у = 4 Ф (4)= 0,9999365.

Функцию П(л:) можно вычислить по соотношению (6.17). Для этого в конпе вычислений нажимаем на клавиши \ I + 2 -г-. Так, для х = 0,1 имеем П(0,1)= 0,53982785.

Если в описанные программы перед оператором С/П ввести фрагмент

ИП8 1 + 2 -f- ПО ИП9 Fx 2 /-/ ~ Fe 2 Ря X F V" П1 ИПО

то будут вычисляться функция П(х)-Р1 = РХ и ее производная n(x) = e-/7V23TtPY. Например, для л; = 0,1 получим П(0,1)=) 0,53982785 и П(0,1) = 0,39695256.

Функцию Ф{х) можно рассчитывать также с помощью программ, вычисляющих Ф({/). Для нахождения Ф(х) надо вместо .у ввести значение х д/ • Например, чтобы вычислить Ф(л:) при х = 0.5 перед пуском программы надо нажать клавиши О , 5 f 2 F V Х-Получим Ф(х) = Ф (0,5) = 0,52049986. Для ускоренного вычисления функции Ф(х) предложен ряд аппроксимаций [2, 3].

Программа 6.34. Вычисление Ф(х) при х>0 аппроксимацией с погрешностью менее 2,5-10-=

ф (х) = 1 (Я (а, +к{а2 + азЯ)))/е, (6.20)

г.пр X = 1/(1 + рх). Ввод; р = 0,47047 = РО, а, = 0,3480242 = РЦ и, = -0,0958798 = Р2, Яз = 0,7478556 = РЗ и д; = РХ.

t ИПО X 1 + Fl/л; П9 ИПЗ X ИП2 + ИП9 X ИП1 + ИП9 X XY Рд: Ре« 1 XY - С/П БП 00

Имеем Ф(0,1)= 0,1124832, Ф{0,5)= 0,5204870, Ф(1)= 0,8427i6u п Ф(3) = 0,9999776. Время счета одного значения Ф{х) около !{; с. Ikn д.-< О вычисления можно выполнить, использу.ч соотношение

Ф(-л:)= 1 - Ф{х).

Упростив коэффициенты в (6.20), эту формулу можно записать D виде

Ф{х)=1 [(Я (348 + X (-96 + 748Я)))/е] 10 (6,21)

и проводить расчет по программе с одним заняты.м регистром пЗ" ыяти.

Программа 6.35. Вычисление Ф(х) по формуле (6,21) с погрешностью порядка МО-. Ввод х = РХ.

I t О , 4 7X1 + Fl/AJ

П9 7 4 8Х 96 - ИПЭ X

3 4 8 -f- ИПЭ X 1 ВП 3 -v-

XY Fx Fe* -4-1 XY ~ С/П БП 00

Для л; = 0,1 и 1 имеем Ф(0,1)= 0,1123962, Ф(1)= 0,8426263. Программа 6.36. Вычисление Ф(л;) аппроксимацией

ф (л:) = 1 (аД + аХ + азА,* + аД + абА.»)/е*,

где Я= 1/(1 + ОбХ) с погрешностью не более 1,6-10~. Ввод: а, =»)

= 0,2548295 = Р1, аг = -0,28449673 - Р2, щ = 1,4214137 = РЗ.

04 = -1,453152 = Р4, as = 1,0614054 = Р5, = 0,3275911 = Р6 н X = РХ,

ПЭ ИПб X 1 + F/ ™ б ПО ИП5

t XY ИПЗ X КИПО + ИПО Fx = 0 11 XY

ИПЭ Fx Fe* -4-1 XY - С/П БП 00

Для д;=0,1 и 2 имеем Ф(0,1) = 0,1124632, Ф(2) = 0,9953221.

Программа 6.37. Одновременное вычисление функций V{x) ов формуле (6.13), U{x) с погрешностью до М0-= аппроксимацией

И (х) -= 1 - t (х) (а,Я - aiX + аХ), тле X = \/{\ + рх), а также функций

\/2п

А(х) = - \e-dt = 2n{x}-l. л/2я